ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\cos x = 0{,}8$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Вычислите:

а) $\sin 2x$

б) $\cos 2x$

в) $\mathrm{tg}2x\frac{\mathrm{}}{}$

г) $\mathrm{ctg}2x$

Известно, что $\cos x = 0{,}8$ и $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

Точка $x$ принадлежит первой четверти, значит:

$$\cos x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5};$$ $$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$ $$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4};$$

а) $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$;

Ответ: $\frac{24}{25}$.

б) $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$;

Ответ: $\frac{7}{25}$.

в) $\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16}{16} — \frac{9}{16}} = \frac{3}{2} : \frac{7}{16} = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 7} = \frac{24}{7}$;

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г) $\ctg 2x = \frac{1}{\tg 2x} = \frac{1 — \tg^2 x}{2 \tg x} = \frac{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{16}{16} — \frac{9}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{16} : \frac{3}{2} = \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{24}$;

Ответ: $\frac{7}{24}$.

Известно, что

$$\cos x = 0{,}8 \quad \text{и} \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}.$$

Это означает, что $x$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

Шаг 1: Запишем $\cos x$ в виде дроби

$$\cos x = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.$$

Преобразовали десятичную дробь в обыкновенную, сократили числитель и знаменатель на 2.

Шаг 2: Найдём $\sin x$ по основному тригонометрическому тождеству

Основное тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Подставим значение $\cos x = \frac{4}{5}$:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \left( \frac{4}{5} \right)^2 = 1 — \frac{16}{25}.$$

Преобразуем:

$$\sin^2 x = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sin x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}.$$

Так как $x$ в первой четверти, $\sin x > 0$, поэтому берём положительный корень.

Шаг 3: Найдём $\tg x$

Определение тангенса:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Подставим:

$$\tg x = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4}.$$

Сокращаем:

$$\tg x = \frac{3}{4}.$$

Теперь решим каждый пункт:

а) Найдём $\sin 2x$

Формула двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x.$$

Подставим:

$$\sin 2x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25}.$$

Ответ: $\frac{24}{25}$

б) Найдём $\cos 2x$

Формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставим:

$$\cos 2x = \left( \frac{4}{5} \right)^2 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}.$$

Ответ: $\frac{7}{25}$

в) Найдём $\tg 2x$

Формула:

$$\tg 2x = \frac{2 \cdot \tg x}{1 — \tg^2 x}.$$

Подставим $\tg x = \frac{3}{4}$:

В числителе:

$$2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

В знаменателе:

$$1 — \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 1 — \frac{9}{16} = \frac{16}{16} — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.$$

Теперь делим:

$$\tg 2x = \frac{3}{2} \div \frac{7}{16} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 7} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}.$$

Ответ: $\frac{24}{7}$

г) Найдём $\ctg 2x$

Формула:

$$\ctg 2x = \frac{1}{\tg 2x}.$$

Или можно использовать формулу напрямую:

$$\ctg 2x = \frac{1 — \tg^2 x}{2 \cdot \tg x}.$$

Подставим:

$$\text{Числитель: } 1 — \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.$$ $$\text{Знаменатель: } 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

Теперь делим:

$$\ctg 2x = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{16} \div \frac{3}{2} = \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}.$$

Ответ: $\frac{7}{24}$

Итоговые ответы:

а) $\frac{24}{25}$
б) $\frac{7}{25}$
в) $\frac{24}{7}$
г) $\frac{7}{24}$