ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\operatorname{tg} x = \frac{3}{4}$, $180^\circ < x < 270^\circ$, Вычислите:

а) $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25};$

б) $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25};$

в) $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{3}{2} : \left(\frac{16}{16} — \frac{9}{16}\right) = \frac{3}{2} : \frac{7}{16};$

г) $\mathrm{ctg}2x$

Известно, что $\operatorname{tg} x = \frac{3}{4}$ и $180^\circ < x < 270^\circ$;

Точка $x$ принадлежит третьей четверти, значит:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5};$$ $$\sin x = \operatorname{tg} x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5};$$

а) $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25};$
Ответ: $\frac{24}{25}$.

б) $\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25};$
Ответ: $\frac{7}{25}$.

в) $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{3}{2} : \left(\frac{16}{16} — \frac{9}{16}\right) = \frac{3}{2} : \frac{7}{16};$

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г) $\operatorname{ctg} 2x = \frac{1}{\operatorname{tg} 2x} = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 x}{2 \operatorname{tg} x} = \frac{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\left(\frac{16}{16} — \frac{9}{16}\right)}{\frac{3}{2}};$

$$\operatorname{ctg} 2x = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{8 \cdot 3} = \frac{7}{24};$$

Ответ: $\frac{7}{24}$.

Известно:

$$\tg x = \frac{3}{4}, \quad 180^\circ < x < 270^\circ.$$

Это означает, что:

• угол $x$ находится в третьей четверти;
• в третьей четверти тангенс и котангенс положительны, синус и косинус — отрицательны.

Шаг 1. Найдём $\cos x$ по тангенсу

Используем формулу:

$$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 x}}.$$

Поскольку $x$ в третьей четверти, $\cos x < 0$, берём знак минус.

Подставляем:

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}}.$$

Возводим в квадрат:

$$\left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}.$$

Складываем:

$$1 + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}.$$

Теперь берём обратную дробь:

$$\frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}.$$

Извлекаем корень:

$$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Учитывая знак:

$$\cos x = -\frac{4}{5}.$$

Шаг 2. Найдём $\sin x$ по определению тангенса

Определение:

$$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \Rightarrow \quad \sin x = \tg x \cdot \cos x.$$

Подставляем:

$$\sin x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{12}{20} = -\frac{3}{5}.$$

а) Найдём $\sin 2x$

Формула:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x.$$

Подставим:

$$\sin 2x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right).$$

Умножаем:

$$2 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{6}{5}, \quad -\frac{6}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{24}{25}}$$

б) Найдём $\cos 2x$

Формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставим:

$$\cos^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}, \quad \sin^2 x = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}.$$

Вычтем:

$$\cos 2x = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{7}{25}}$$

в) Найдём $\tg 2x$

Формула:

$$\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x}.$$

Подставим:

$$\tg x = \frac{3}{4}, \quad \tg^2 x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}.$$

Числитель:

$$2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

Знаменатель:

$$1 — \frac{9}{16} = \frac{16}{16} — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.$$

Теперь делим:

$$\tg 2x = \frac{3}{2} \div \frac{7}{16} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{24}{7}}$$

г) Найдём $\ctg 2x$

Вариант 1: через обратную дробь:

$$\ctg 2x = \frac{1}{\tg 2x} = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24}.$$

ИЛИ

Вариант 2: использовать формулу напрямую:

$$\ctg 2x = \frac{1 — \tg^2 x}{2 \cdot \tg x}.$$

Подставим:

$$1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}, \quad 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

Теперь делим:

$$\ctg 2x = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{7}{24}}$$

Итоги: