ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $2\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }$

б) $(\cos {75}^{\circ }-\sin {75}^{\circ }{)}^2$

в) ${\cos }^2{15}^{\circ }-{\sin }^2{15}^{\circ }$

г) $(\cos {15}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }{)}^2$

а) $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $(\cos {75}^{\circ }-\sin {75}^{\circ }{)}^2=({\cos }^2{75}^{\circ }+{\sin }^2{75}^{\circ })-2\cos {75}^{\circ }\cdot \sin {75}^{\circ }=1-\sin (2\cdot {75}^{\circ })=$

$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) — 2 \cos 75^\circ \cdot \sin 75^\circ = 1 — \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 — \sin 150^\circ = 1 — \sin(180^\circ — 30^\circ) = 1 — \sin 30^\circ = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $(\cos {15}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }{)}^2=({\cos }^2{15}^{\circ }+{\sin }^2{15}^{\circ })+2\cos {15}^{\circ }\cdot \sin {15}^{\circ }=1+\sin (2\cdot {15}^{\circ })=$

$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = (\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \cos 15^\circ \cdot \sin 15^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$;

Ответ: $\frac{3}{2}$.

а) $2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$

Шаг 1. Узнаем формулу:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

Шаг 2. В данном выражении:

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ)$$

Шаг 3. Вычислим:

$$\sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ$$

Шаг 4. Значение синуса:

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

Вывод:

$$2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2}}$

б) $(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2$

Шаг 1. Раскроем квадрат разности:

$$(\cos 75^\circ — \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ — 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$$

Шаг 2. Группируем:

$$= (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) — 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

Шаг 3. Знаем тождество:

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$ $$= 1 — 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

Шаг 4. Используем формулу:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ)$$ $$= 1 — \sin(2 \cdot 75^\circ) = 1 — \sin 150^\circ$$

Шаг 5. Используем формулу приведения:

$$\sin(180^\circ — \theta) = \sin \theta \Rightarrow \sin 150^\circ = \sin 30^\circ$$ $$= 1 — \sin 30^\circ = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2}}$

в) $\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$

Шаг 2. В нашем случае:

$$\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 3. Значение:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

г) $(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2$

Шаг 1. Раскроем квадрат суммы:

$$(\cos 15^\circ + \sin 15^\circ)^2 = \cos^2 15^\circ + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ + \sin^2 15^\circ$$

Шаг 2. Группируем:

$$= (\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ$$

Шаг 3. Используем тождество:

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \Rightarrow = 1 + 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ$$

Шаг 4. Применим формулу:

$$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow 2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ$$ $$= 1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3}{2}}$