ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $\sin 2x = -\frac{3}{5}$, $\frac{\pi}{2} < x < \pi$. Вычислите:

• $\cos x$,
• $\sin x$,
• $\operatorname{tg} x$,
• $\operatorname{ctg} x$.

б) Известно, что $\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}$, $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$. Вычислите:

• $\cos x$,
• $\sin x$,
• $\operatorname{tg} x$,
• $\operatorname{ctg} x$.

а) Известно, что $\sin 2x = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < x < \pi$;

Точка $2x$ принадлежит III или IV четверти, значит:

$$\pi <2x<2\pi ;$$

$$\pi < 2x < 2\pi;$$ $$\cos 2x = \pm \sqrt{1 — \sin^2 2x} = \pm \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5};$$

Точка $x$ принадлежит второй четверти, значит:

В случае, если $\cos 2x = \frac{4}{5}$:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5+4}{2\cdot 5}}=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}};$$

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 + 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\sin x=+\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-{(-\frac{3}{\sqrt{10}})}^2}=\sqrt{\frac{10}{10}-\frac{9}{10}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}};$$

$$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{10} — \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}};$$ $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}}=-\frac{1}{3};$$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = -\frac{1}{3};$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = -3;$$

В случае, если $\cos 2x = -\frac{4}{5}$:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-4}{2\cdot 5}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}};$$

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 — 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}};$$ $$\sin x=+\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{1-{(-\frac{1}{\sqrt{10}})}^2}=\sqrt{\frac{10}{10}-\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}};$$

$$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{10} — \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}}=-3;$$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3;$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{1}{\sqrt{10}}; -\frac{1}{3}; -3$ или $-\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; -3; -\frac{1}{3}$.

б) Известно, что $\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}$ и $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$;

Точка $2x$ принадлежит первой четверти, значит:

$$2\pi <2x<\frac{5\pi }{2};$$

$$2\pi < 2x < \frac{5\pi}{2};$$ $$\cos 2x = +\sqrt{\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 2x}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Точка $x$ принадлежит третьей четверти, значит:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5+4}{2\cdot 5}}=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}};$$

$$\cos x = -\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 + 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-4}{2\cdot 5}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}};$$

$$\sin x = -\sqrt{\frac{1 — \cos 2x}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 — 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}};$$ $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}=\frac{1}{3};$$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{1}{3};$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3;$$

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt{10}}; -\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{1}{3}; 3$.

а) Известно, что $\sin 2x = -\frac{3}{5}$, причём $\frac{\pi}{2} < x < \pi$

Шаг 1. Найдём возможные значения $2x$

Если $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, то умножим неравенство на 2:

$$2x \in \left(\pi, 2\pi\right)$$

То есть, угол $2x$ находится либо в III четверти ($\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}$), либо в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < 2x < 2\pi$).

В этих двух четвертях синус отрицателен, как и указано в условии: $\sin 2x = -\frac{3}{5}$

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 2x = 1 — \sin^2 2x$$

Подставим значение:

$$\cos^2 2x = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25 — 9}{25} = \frac{16}{25}$$

Отсюда:

$$\cos 2x = \pm \frac{4}{5}$$

Мы не можем однозначно определить знак $\cos 2x$, потому что угол $2x$ может быть как в III, так и в IV четверти. В обеих четвертях $\cos 2x$ может быть отрицательным или положительным, в зависимости от точного значения угла. Поэтому рассматриваем оба случая.

Разбор каждого случая отдельно:

Случай 1: $\cos 2x = \frac{4}{5}$

Шаг 3. Найдём $\cos x$ по формуле половинного угла:

$$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Поскольку $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, это вторая четверть, а в ней косинус отрицателен. Значит:

$$\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Шаг 4. Найдём $\sin x$

$$\sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

Во второй четверти синус положителен, знак выбран правильно.

Шаг 5. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 6. Найдём $\operatorname{ctg} x$

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$$

Результаты для случая $\cos 2x = \frac{4}{5}$:

• $\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$
• $\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$
• $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$
• $\operatorname{ctg} x = -3$

Случай 2: $\cos 2x = -\frac{4}{5}$

Шаг 3. Найдём $\cos x$

$$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$$

Снова, так как $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, то $\cos x < 0$, значит:

$$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Шаг 4. Найдём $\sin x$

$$\sin x = \sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Во второй четверти синус положителен – всё верно.

Шаг 5. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3$$

Шаг 6. Найдём $\operatorname{ctg} x$

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$

Результаты для случая $\cos 2x = -\frac{4}{5}$:

• $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$
• $\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}$
• $\operatorname{tg} x = -3$
• $\operatorname{ctg} x = -\frac{1}{3}$

Окончательный ответ пункта а):

$$\boxed{ -\frac{3}{\sqrt{10}}; \frac{1}{\sqrt{10}}; -\frac{1}{3}; -3 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{3}{\sqrt{10}}; -3; -\frac{1}{3} }$$

б) Известно, что $\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}$, и $\pi < x < \frac{5\pi}{4}$

Шаг 1. Найдём диапазон угла $2x$

Умножим на 2:

$$2x \in (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \Rightarrow 2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right)$$

Это значит, что угол $2x$ находится в I четверти, т.к. $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$

В первой четверти тангенс положителен, как в условии: $\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{4}$

Шаг 2. Найдём $\cos 2x$ через $\operatorname{tg} 2x$

Используем формулу:

$$\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 2x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{9}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$$

В I четверти $\cos 2x > 0$ — всё верно.

Шаг 3. Так как $x \in (\pi, \frac{5\pi}{4})$, угол x находится в III четверти

• В III четверти:
  • $\sin x < 0$
  • $\cos x < 0$
  • $\operatorname{tg} x > 0$

Шаг 4. Найдём $\cos x$

$$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}$$

В III четверти косинус отрицателен:

$$\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Шаг 5. Найдём $\sin x$

$$\sin x = \pm \sqrt{\frac{1 — \cos 2x}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$$

В III четверти синус также отрицателен:

$$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Шаг 6. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3}$$

Шаг 7. Найдём $\operatorname{ctg} x$

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$

Окончательный ответ пункта б):

$$\boxed{ -\frac{3}{\sqrt{10}}; -\frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{1}{3}; 3 }$$