ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = a$, найдите $\sin \frac{2x — \pi}{2}$, $\cos \frac{2x + \pi}{2}$;

б) зная, что $\operatorname{tg} \frac{x}{4} = a$, найдите $\sin \frac{x — 3\pi}{2}$, $\cos \frac{x + 3\pi}{2}$.

а) Известно, что $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = a$;

Найдем значение $\cos x$:

$${\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=a^2;$$

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = a^2;$$ $$1-\cos x=a^2\cdot (1+\cos x)$$

$$1 — \cos x = a^2 \cdot (1 + \cos x)$$ $$1-\cos x=a^2+a^2\cos x$$

$$1 — \cos x = a^2 + a^2 \cos x$$ $$a^2\cos x+\cos x=1-a^2$$

$$a^2 \cos x + \cos x = 1 — a^2$$ $$\cos x\cdot (a^2+1)=1-a^2$$

$$\cos x \cdot (a^2 + 1) = 1 — a^2$$ $$\cos x = \frac{1 — a^2}{1 + a^2};$$

Найдем значение $\sin x$:

$$\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}\frac{2x}{2}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}=\frac{2a}{1-a^2};$$

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} \frac{2x}{2} = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2a}{1 — a^2};$$ $$\sin x = \operatorname{tg} x \cdot \cos x = \frac{2a}{1 — a^2} \cdot \frac{1 — a^2}{1 + a^2} = \frac{2a}{1 + a^2};$$

Значения искомых функций:

$$\sin \frac{2x-\pi }{2}=\sin (x-\frac{\pi }{2})=-\sin (\frac{\pi }{2}-x)=-\cos x=\frac{a^2-1}{a^2+1};$$

$$\sin \frac{2x — \pi}{2} = \sin \left( x — \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = -\cos x = \frac{a^2 — 1}{a^2 + 1};$$ $$\cos \frac{2x + \pi}{2} = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin x = -\frac{2a}{1 + a^2};$$

Ответ: $\frac{a^2 — 1}{a^2 + 1}; -\frac{2a}{1 + a^2}$.

б) Известно, что $\operatorname{tg} \frac{x}{4} = a$;

Найдем значение $\cos \frac{x}{2}$:

$${\mathrm{tg}}^2\frac{x}{4}=\frac{1-\cos \frac{x}{2}}{1+\cos \frac{x}{2}}=a^2;$$

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{4} = \frac{1 — \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}} = a^2;$$ $$1-\cos \frac{x}{2}=a^2\cdot (1+\cos \frac{x}{2})$$

$$1 — \cos \frac{x}{2} = a^2 \cdot (1 + \cos \frac{x}{2})$$ $$1-\cos \frac{x}{2}=a^2+a^2\cos \frac{x}{2}$$

$$1 — \cos \frac{x}{2} = a^2 + a^2 \cos \frac{x}{2}$$ $$a^2 \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 1 — a^2$$ $$\cos \frac{x}{2}\cdot (a^2+1)=1-a^2$$

$$\cos \frac{x}{2} \cdot (a^2 + 1) = 1 — a^2$$ $$\cos \frac{x}{2} = \frac{1 — a^2}{1 + a^2};$$

Найдем значение $\sin \frac{x}{2}$:

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\mathrm{tg}\frac{2x}{4}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{x}{4}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{4}}=\frac{2a}{1-a^2};$$

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \operatorname{tg} \frac{2x}{4} = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{4}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{4}} = \frac{2a}{1 — a^2};$$ $$\sin \frac{x}{2} = \operatorname{tg} \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{2a}{1 — a^2} \cdot \frac{1 — a^2}{1 + a^2} = \frac{2a}{1 + a^2};$$

Значения искомых функций:

$$\sin \frac{x-3\pi }{2}=\sin (\frac{x}{2}-\frac{3\pi }{2})=-\sin (\frac{3\pi }{2}-\frac{x}{2})=\cos \frac{x}{2}=\frac{1-a^2}{1+a^2};$$

$$\sin \frac{x — 3\pi}{2} = \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{3\pi}{2} \right) = -\sin \left( \frac{3\pi}{2} — \frac{x}{2} \right) = \cos \frac{x}{2} = \frac{1 — a^2}{1 + a^2};$$ $$\cos \frac{x + 3\pi}{2} = \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \frac{x}{2} = \frac{2a}{1 + a^2};$$

Ответ: $\frac{1 — a^2}{1 + a^2}; \frac{2a}{1 + a^2}$.

а) Известно, что $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = a$

1) Найдем $\cos x$

Вспомним формулу двойного угла для тангенса:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}$$

Подставим $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = a \Rightarrow \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = a^2$:

$$a^2 = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}$$

Теперь выразим $\cos x$ из этого уравнения.

Шаг 1. Умножим обе части на знаменатель правой дроби:

$$a^2 (1 + \cos x) = 1 — \cos x$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$a^2 + a^2 \cos x = 1 — \cos x$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

$$a^2 \cos x + \cos x = 1 — a^2$$

Шаг 4. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (a^2 + 1) = 1 — a^2$$

Шаг 5. Выразим $\cos x$:

$$\cos x = \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$$

2) Найдем $\sin x$

Сначала найдём значение $\operatorname{tg} x$, зная $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = a$. Используем формулу:

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2a}{1 — a^2}$$

Теперь используем основную тригонометрическую формулу:

$$\sin x = \operatorname{tg} x \cdot \cos x$$

Подставим ранее найденные значения:

$$\sin x = \frac{2a}{1 — a^2} \cdot \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$$

Сократим $1 — a^2$ (в числителе и знаменателе):

$$\sin x = \frac{2a}{1 + a^2}$$

3) Найдём значения:

1. $\sin \frac{2x — \pi}{2}$

Упростим аргумент:

$$\sin \left( \frac{2x — \pi}{2} \right) = \sin(x — \frac{\pi}{2})$$

Воспользуемся формулой:

$$\sin(x — \frac{\pi}{2}) = -\cos x$$

Ранее мы нашли $\cos x = \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$, значит:

$$\sin(x — \frac{\pi}{2}) = -\frac{1 — a^2}{1 + a^2} = \frac{a^2 — 1}{a^2 + 1}$$

2. $\cos \frac{2x + \pi}{2}$

Упростим:

$$\cos \left( \frac{2x + \pi}{2} \right) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$$

Формула:

$$\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin x$$

Мы нашли ранее:

$$\sin x = \frac{2a}{1 + a^2} \Rightarrow \cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\frac{2a}{1 + a^2}$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{ \frac{a^2 — 1}{a^2 + 1};\quad -\frac{2a}{1 + a^2} }$$

б) Известно, что $\operatorname{tg} \frac{x}{4} = a$

1) Найдём $\cos \frac{x}{2}$

Используем:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{4} = \frac{1 — \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}} = a^2$$

Решим уравнение:

Шаг 1. Умножим обе части на знаменатель:

$$a^2(1 + \cos \frac{x}{2}) = 1 — \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$a^2 + a^2 \cos \frac{x}{2} = 1 — \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

$$a^2 \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 1 — a^2$$

Шаг 4. Вынесем $\cos \frac{x}{2}$:

$$\cos \frac{x}{2}(a^2 + 1) = 1 — a^2$$

Шаг 5. Выразим:

$$\cos \frac{x}{2} = \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$$

2) Найдём $\sin \frac{x}{2}$

Сначала найдём $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$, используя:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{x}{4}) = \frac{2a}{1 — a^2}$$

Теперь:

$$\sin \frac{x}{2} = \operatorname{tg} \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{2a}{1 — a^2} \cdot \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$$

Сокращаем $1 — a^2$:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{2a}{1 + a^2}$$

3) Найдём значения:

$\sin \frac{x — 3\pi}{2}$

Упростим:

$$\sin \left( \frac{x — 3\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{3\pi}{2} \right)$$

Формула:

$$\sin(\alpha — \beta) = -\sin(\beta — \alpha) \Rightarrow \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{3\pi}{2} \right) = -\sin\left( \frac{3\pi}{2} — \frac{x}{2} \right)$$ $$= -(-\cos \frac{x}{2}) = \cos \frac{x}{2}$$

Ранее:

$$\cos \frac{x}{2} = \frac{1 — a^2}{1 + a^2}$$

$\cos \frac{x + 3\pi}{2}$

$$\cos \left( \frac{x + 3\pi}{2} \right) = \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2} \right)$$

Формула:

$$\cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin \alpha \Rightarrow \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{2} \right) = \sin \frac{x}{2}$$

Ранее:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{2a}{1 + a^2}$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{ \frac{1 — a^2}{1 + a^2};\quad \frac{2a}{1 + a^2} }$$