ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, если:

а) $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = a$;

б) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a$.

а) $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = a$;

$$\sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 — \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)}{2} = a^2;$$ $$1 — \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 2a^2;$$ $$1 — \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2a^2;$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2;$$

Ответ: $1 — 2a^2$.

б) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a$;

$$\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = a^2;$$ $$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 2a^2;$$ $$1 — \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2a^2;$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2;$$

Ответ: $1 — 2a^2$.

а)

Условие: $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = a$

Шаг 1: Используем тождество для квадрата синуса:

$$\sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 — \cos\left(2 \cdot \left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2}$$

Применяя удвоенный аргумент:

$$\sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 — \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)}{2}$$

Так как нам известно, что $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = a$, то:

$$a^2 = \frac{1 — \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)}{2}$$

Шаг 2: Умножим обе части на 2:

$$2a^2 = 1 — \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Теперь выразим $\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right)$:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = 1 — 2a^2$$

Шаг 3: Теперь используем тождество косинуса для вычитания углов:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$$

Это можно объяснить тем, что:

$$x — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Таким образом, можно записать:

$$1 — \cos\left(-\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 2a^2$$

После этого выразим $\cos\left(-\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$ через синус:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Заменяем это в уравнении:

$$1 — \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2a^2$$

Шаг 4: Теперь выражаем $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2$$

Ответ для части а):

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2$$

б)

Условие: $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a$

Шаг 1: Используем тождество для квадрата косинуса:

$$\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right)}{2}$$

Применяя удвоенный аргумент:

$$\cos^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2}$$

Так как нам известно, что $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = a$, то:

$$a^2 = \frac{1 + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2}$$

Шаг 2: Умножим обе части на 2:

$$2a^2 = 1 + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$$

Теперь выразим $\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$:

$$\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2a^2 — 1$$

Шаг 3: Теперь используем тождество косинуса для сложения углов:

$$\cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$$

Это можно объяснить тем, что:

$$x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Таким образом, можно записать:

$$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 2a^2$$

После этого выразим $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$ через синус:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$$

Заменяем это в уравнении:

$$1 — \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2a^2$$

Шаг 4: Теперь выражаем $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2$$

Ответ для части б):

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 — 2a^2$$$$