ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $\sin 2\alpha = \frac{1}{3}$. Вычислите $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$.

б) Известно, что $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{49}{50}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислите $\sin 2\alpha$.

а) Известно, что $\sin 2a = \frac{1}{3}$;

Значение произведения:

$$\sin 2a = \frac{1}{3};$$ $$2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{3};$$ $$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{6};$$

Значение искомого выражения:

$$f = \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a;$$ $$f = 1^2 — 2 (\sin a \cdot \cos a)^2 = 1 — 2 \left( \frac{1}{6} \right)^2 = 1 — \frac{2}{36} = 1 — \frac{1}{18} = \frac{17}{18};$$

Ответ: $\frac{17}{18}$

б) Известно, что $\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{49}{50}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Значение произведения:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{49}{50};$$ $$(\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \frac{49}{50};$$ $$1 — 2 (\sin a \cdot \cos a)^2 = \frac{49}{50};$$ $$2 (\sin a \cdot \cos a)^2 = \frac{1}{50};$$ $$(\sin a \cdot \cos a)^2 = \frac{1}{100};$$ $$\sin a \cdot \cos a = \pm \frac{1}{10};$$

Точка $a$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\sin a > 0, \quad \cos a < 0;$$ $$\sin a \cdot \cos a = -\frac{1}{10};$$

Значение искомого выражения:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a = 2 \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{1}{5};$$

Ответ: $-\frac{1}{5}$.

а) Известно, что $\sin 2a = \frac{1}{3}$;

1. Значение произведения $\sin a \cdot \cos a$:

Известно, что:

$$\sin 2a = \frac{1}{3}.$$

Мы знаем, что существует тригонометрическое тождество для удвоенного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a.$$

Подставляем значение $\sin 2a$:

$$2 \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{3}.$$

Теперь делим обе части уравнения на 2:

$$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{6}.$$

Таким образом, произведение $\sin a \cdot \cos a$ равно $\frac{1}{6}$.

2. Значение выражения $\sin^4 a + \cos^4 a$:

Нам нужно найти значение выражения $\sin^4 a + \cos^4 a$.

Для этого используем стандартную формулу для разложения выражения $\sin^4 a + \cos^4 a$:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a.$$

Сначала отметим, что из основной тригонометрической тождествы $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$. Подставляем это в формулу:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a.$$

Теперь нам нужно найти значение $\sin^2 a \cdot \cos^2 a$. Мы знаем, что:

$$\sin a \cdot \cos a = \frac{1}{6}.$$

Теперь возведем обе части этого выражения в квадрат:

$$\left(\sin a \cdot \cos a\right)^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}.$$

Таким образом, $\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \frac{1}{36}$.

Подставим это значение в формулу для $\sin^4 a + \cos^4 a$:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = 1 — 2 \cdot \frac{1}{36} = 1 — \frac{2}{36} = 1 — \frac{1}{18} = \frac{17}{18}.$$

Ответ для первой части задачи:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{17}{18}.$$

б) Известно, что $\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{49}{50}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

1. Значение произведения $\sin a \cdot \cos a$:

Из условия задачи нам известно, что:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{49}{50}.$$

Как и в первой части, используем формулу для разложения $\sin^4 a + \cos^4 a$:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a.$$

Снова применяем тождество $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$\sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a.$$

Подставляем известное значение $\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{49}{50}$:

$$1 — 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \frac{49}{50}.$$

Теперь решим это уравнение относительно $\sin^2 a \cdot \cos^2 a$:

$$2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1 — \frac{49}{50} = \frac{1}{50},$$ $$\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \frac{1}{100}.$$

Теперь извлекаем корень из обеих частей:

$$\sin a \cdot \cos a = \pm \frac{1}{10}.$$

2. Знак произведения $\sin a \cdot \cos a$:

Так как точка $a$ находится во второй четверти, то $\sin a > 0$ и $\cos a < 0$. Следовательно, произведение $\sin a \cdot \cos a$ должно быть отрицательным. Таким образом, получаем:

$$\sin a \cdot \cos a = -\frac{1}{10}.$$

3. Значение выражения $\sin 2a$:

Используем формулу для удвоенного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a.$$

Подставляем найденное значение $\sin a \cdot \cos a = -\frac{1}{10}$:

$$\sin 2a = 2 \cdot \left(-\frac{1}{10}\right) = -\frac{1}{5}.$$

Ответ для второй части задачи:

$$\sin 2a = -\frac{1}{5}.$$

Итоги:

• Для части а) ответ: $\frac{17}{18}$.
• Для части б) ответ: $-\frac{1}{5}$.