ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Вычислите:

а) ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

б) ${\sin }^{8}x-{\cos }^{8}x$

Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$;

Значения квадратов функций:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} = \frac{1 — \frac{5}{13}}{2} = \frac{13 — 5}{2 \cdot 13} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13};$$ $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 13} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13};$$

а) $f = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x$;

$$f = 1^2 — 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13} = \frac{169}{169} — \frac{72}{169} = \frac{97}{169};$$

Ответ: $\frac{97}{169}$.

б) $f = \sin^8 x — \cos^8 x = (\sin^4 x — \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$;

$$f = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x);$$ $$f = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot 1 \cdot \left(1^2 — 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13}\right) = -\cos 2x \cdot \left(\frac{169}{169} — \frac{72}{169}\right);$$ $$f = -\frac{5}{13} \cdot \frac{97}{169} = -\frac{485}{2197};$$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$.

Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$.

Шаг 1: Определение значений квадратов функций $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$

Мы знаем, что для любой угловой функции выполняются основные тригонометрические тождества:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Кроме того, мы можем использовать следующее тождество для нахождения $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ через $\cos 2x$:

1. Для $\sin^2 x$:

   $$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}.$$

   Подставим значение $\cos 2x = \frac{5}{13}$:

   $$\sin^2 x = \frac{1 — \frac{5}{13}}{2} = \frac{\frac{13}{13} — \frac{5}{13}}{2} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}.$$

2. Для $\cos^2 x$:

   $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.$$

   Подставим значение $\cos 2x = \frac{5}{13}$:

   $$\cos^2 x = \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} = \frac{\frac{13}{13} + \frac{5}{13}}{2} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}.$$

Теперь у нас есть значения:

$$\sin^2 x = \frac{4}{13}, \quad \cos^2 x = \frac{9}{13}.$$

Шаг 2: Вычисление $f = \sin^4 x + \cos^4 x$

а) Рассчитаем $f = \sin^4 x + \cos^4 x$:

Используем следующую формулу для вычисления суммы четвертых степеней:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x.$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x.$$

Теперь подставим значения $\sin^2 x = \frac{4}{13}$ и $\cos^2 x = \frac{9}{13}$:

$$\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13} = \frac{36}{169}.$$

Таким образом, подставляем это значение в формулу:

$$f = 1 — 2 \cdot \frac{36}{169} = \frac{169}{169} — \frac{72}{169} = \frac{169 — 72}{169} = \frac{97}{169}.$$

Ответ для части а): $\frac{97}{169}$.

Шаг 3: Вычисление $f = \sin^8 x — \cos^8 x$

б) Рассчитаем $f = \sin^8 x — \cos^8 x$:

Для этого используем разложение:

$$\sin^8 x — \cos^8 x = (\sin^4 x — \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x).$$

В первую очередь, вычислим $\sin^4 x — \cos^4 x$ с использованием формулы разности квадратов:

$$\sin^4 x — \cos^4 x = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x).$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$\sin^4 x — \cos^4 x = (\sin^2 x — \cos^2 x) \cdot 1 = \sin^2 x — \cos^2 x.$$

Подставим значения $\sin^2 x = \frac{4}{13}$ и $\cos^2 x = \frac{9}{13}$:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{4}{13} — \frac{9}{13} = -\frac{5}{13}.$$

Теперь вычислим $\sin^4 x + \cos^4 x$, которое мы нашли на предыдущем шаге:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{97}{169}.$$

Теперь вычислим $f = \sin^8 x — \cos^8 x$:

$$f = \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot \frac{97}{169} = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}.$$

Ответ для части б): $-\frac{485}{2197}$.

Итоги:

• Ответ для части а): $\frac{97}{169}$.
• Ответ для части б): $-\frac{485}{2197}$.