ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}$

б) $\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$

в) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}$

г) $\frac{\sqrt{2}}{2}-{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2$

а) $2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}=\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$\mathrm{}$Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) $\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot 2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}+1}{4};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}+1}{4}$.

в) ${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}=\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) $\frac{\sqrt{2}}{2}-{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2=\frac{\sqrt{2}}{2}-({\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}+2\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8})=$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}-(1+\sin (2\cdot \frac{\pi }{8}))$$=$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=-1;$

Ответ: $-1$.

а)

$2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}$

Шаг 1: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin (2x)=2\sin x\cdot \cos x$$

Применим её с $x=\frac{\pi }{8}$:

$$2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}=\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})$$

Шаг 2: Упростим выражение в скобках:

$$2\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$$

Шаг 3: Значение синуса $\frac{\pi }{4}$:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$$

б)

$$\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение, выделяя формулу синуса двойного угла:

$$\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\cdot (2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8})$$

Следовательно:

$$\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot (2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8})+\frac{1}{4}$$

Шаг 2: Используем формулу синуса двойного угла:

$$2\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8}=\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})=\sin \frac{\pi }{4}$$

Значит:

$$\frac{1}{2}\cdot \sin \frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}$$

Шаг 3: Подставим значение $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{4}$$

Шаг 4: Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{4}}}$$

в)

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}$$

Шаг 1: Используем формулу разности квадратов синуса и косинуса:

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos (2x)$$

Но здесь углы разные, поэтому применим только к первому слагаемому:

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8}=\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{4}$$

Но в задаче стоит ${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}$, значит, вторая часть — просто число:

$$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {\sin }^2\frac{\pi }{3}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$$

Шаг 2: Найдём ${\cos }^2\frac{\pi }{8}$:
Используем формулу понижения степени:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$$${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)}{2}$$$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 3: Теперь вычислим всю разность:

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{4}=\frac{2+\sqrt{2}-3}{4}=\frac{\sqrt{2}-1}{4}$$

Однако в оригинальном решении написано:

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}=\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значит, это ошибка в оригинале: там по ошибке написали ${\sin }^2\frac{\pi }{3}$ вместо ${\sin }^2\frac{\pi }{8}$, либо не учли, что углы разные.

Если исправить, то:

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8}=\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ (при условии, что углы одинаковые):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$$

г)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}-{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2$$

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы:

$${(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2={\cos }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8}+2\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8}$$

Шаг 2: Используем тождество:

$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$$$${(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2=1+2\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8}$$

Шаг 3: Применим формулу синуса двойного угла:

$$2\sin x\cdot \cos x=\sin (2x)\Rightarrow 2\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8}=\sin (2\cdot \frac{\pi }{8})=\sin \frac{\pi }{4}$$$${(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2=1+\sin \frac{\pi }{4}$$$$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Вычитаем из исходного выражения:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}-(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Сократим одинаковые части:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=-1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1}}$$