ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $f(x) = \sin x$, $f(a) = 0,1$, вычислите $f(3a)$;

б) Зная, что $f(x) = \sin x$, $f(a) = 0,25$, вычислите $f(4a)$;

в) Зная, что $f(x) = \cos x$, $f(a) = -0,1$, вычислите $f(3a)$;

г) Зная, что $f(x) = \cos x$, $f(a) = \frac{2}{3}$, вычислите $f(4a)$.

а) Известно, что $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,1$, найти $f(3a)$;

$$f(a)=\sin a=0,1;$$

$$f(a) = \sin a = 0,1;$$ $$f(3a)=\sin 3a=3\sin a-4{\sin }^{3}a;$$

$$f(3a) = \sin 3a = 3 \sin a — 4 \sin^3 a;$$ $$f(3a) = 3 \cdot 0,1 — 4 \cdot 0,1^3 = 0,3 — 0,004 = 0,296;$$

Ответ: $0,296$.

б) Известно, что $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,25$, найти $f(4a)$;

$$f(a)=\sin a=\frac{1}{4};$$

$$f(a) = \sin a = \frac{1}{4};$$ $$f(4a)=\sin 4a=2\sin 2a\cdot \cos 2a=2\cdot 2\sin a\cdot \cos a\cdot \cos 2a;$$

$$f(4a) = \sin 4a = 2 \sin 2a \cdot \cos 2a = 2 \cdot 2 \sin a \cdot \cos a \cdot \cos 2a;$$ $$f(4a)=4\sin a\cdot (\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}a})\cdot ({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a);$$

$$f(4a) = 4 \sin a \cdot \left( \pm \sqrt{1 — \sin^2 a} \right) \cdot (\cos^2 a — \sin^2 a);$$ $$f(4a)=\pm 4\sin a\cdot \sqrt{1-{\sin }^{2}a}\cdot (1-2{\sin }^{2}a);$$

$$f(4a) = \pm 4 \sin a \cdot \sqrt{1 — \sin^2 a} \cdot (1 — 2 \sin^2 a);$$ $$f(4a)=\pm 4\cdot \frac{1}{4}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}\cdot (1-2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2)=\pm \sqrt{\frac{16}{16}-\frac{1}{16}}\cdot (1-\frac{2}{16});$$

$$f(4a) = \pm 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{1 — \left( \frac{1}{4} \right)^2} \cdot \left( 1 — 2 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \right) = \pm \sqrt{\frac{16}{16} — \frac{1}{16}} \cdot \left( 1 — \frac{2}{16} \right);$$ $$f(4a) = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \left( \frac{8}{8} — \frac{1}{8} \right) = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{7}{8} = \pm \frac{7 \sqrt{15}}{32};$$

Ответ: $\pm \frac{7 \sqrt{15}}{32}$.

в) Известно, что $f(x) = \cos x$ и $f(a) = -0,1$, найти $f(3a)$;

$$f(a)=\cos a=-0,1;$$

$$f(a) = \cos a = -0,1;$$ $$f(3a)=\cos 3a=4{\cos }^{3}a-3\cos a;$$

$$f(3a) = \cos 3a = 4 \cos^3 a — 3 \cos a;$$ $$f(3a) = 4 \cdot (-0,1)^2 — 3 \cdot (-0,1) = -0,004 + 0,3 = 0,296;$$

Ответ: $0,296$.

г) Известно, что $f(x) = \cos x$ и $f(a) = \frac{2}{3}$, найти $f(4a)$;

$$f(a)=\cos a=\frac{2}{3};$$

$$f(a) = \cos a = \frac{2}{3};$$ $$f(4a)=\cos 4a={\cos }^{2}2a-{\sin }^{2}2a;$$

$$f(4a) = \cos 4a = \cos^2 2a — \sin^2 2a;$$ $$f(4a)=({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a{)}^2-4{\sin }^{2}a\cdot {\cos }^{2}a;$$

$$f(4a) = (\cos^2 a — \sin^2 a)^2 — 4 \sin^2 a \cdot \cos^2 a;$$ $$f(4a)=({\cos }^{2}a-(1-{\cos }^{2}a){)}^2-4(1-{\cos }^{2}a)\cdot {\cos }^{2}a;$$

$$f(4a) = (\cos^2 a — (1 — \cos^2 a))^2 — 4 (1 — \cos^2 a) \cdot \cos^2 a;$$ $$f(4a)=(2{\cos }^{2}a-1{)}^2-4{\cos }^{2}a+4{\cos }^{4}a;$$

$$f(4a) = (2 \cos^2 a — 1)^2 — 4 \cos^2 a + 4 \cos^4 a;$$ $$f(4a)={(2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-1)}^2-4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2+4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4={(\frac{8}{9}-\frac{9}{9})}^2-\frac{16}{9}+\frac{64}{81};$$

$$f(4a) = \left( 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 — 1 \right)^2 — 4 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 4 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \left( \frac{8}{9} — \frac{9}{9} \right)^2 — \frac{16}{9} + \frac{64}{81};$$ $$f(4a) = \left( -\frac{1}{9} \right)^2 — \frac{16}{9} + \frac{64}{81} = \frac{1}{81} — \frac{144}{81} + \frac{64}{81} = -\frac{79}{81};$$

Ответ: $-\frac{79}{81}$.

а) Известно, что $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,1$, найти $f(3a)$;

Дано:

$$f(x) = \sin x, \quad f(a) = 0,1$$

Это означает, что $\sin a = 0,1$, то есть $a$ — это угол, для которого синус равен 0,1.

Найдем $f(3a)$, то есть значение функции для угла $3a$:

$$f(3a) = \sin(3a)$$

Из тригонометрической формулы для $\sin(3x)$ знаем, что:

$$\sin(3x) = 3\sin(x) — 4\sin^3(x)$$

Подставляем $\sin a = 0,1$ в эту формулу:

$$f(3a) = \sin(3a) = 3 \cdot \sin a — 4 \cdot \sin^3 a$$ $$f(3a) = 3 \cdot 0,1 — 4 \cdot (0,1)^3$$

Вычислим каждую часть выражения:

$$3 \cdot 0,1 = 0,3$$ $$(0,1)^3 = 0,001$$ $$4 \cdot 0,001 = 0,004$$

Следовательно:

$$f(3a) = 0,3 — 0,004 = 0,296$$

Ответ:

$$f(3a) = 0,296$$

б) Известно, что $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,25$, найти $f(4a)$;

Дано:

$$f(x) = \sin x, \quad f(a) = 0,25$$

Это означает, что $\sin a = 0,25$.

Найдем $f(4a)$, то есть значение функции для угла $4a$:

$$f(4a) = \sin(4a)$$

Используем формулу для $\sin(4x)$:

$$\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cdot \cos(2x)$$

Нам нужно найти $\sin(2a)$ и $\cos(2a)$. Для этого используем следующие формулы:

$$\sin(2a) = 2 \sin a \cdot \cos a$$ $$\cos(2a) = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставляем $\sin a = 0,25$:

$$\sin(2a) = 2 \cdot 0,25 \cdot \cos a = 0,5 \cdot \cos a$$ $$\cos(2a) = \cos^2 a — (0,25)^2 = \cos^2 a — 0,0625$$

Таким образом, получаем:

$$f(4a) = 2 \cdot (0,5 \cdot \cos a) \cdot (\cos^2 a — 0,0625)$$ $$f(4a) = \cos a \cdot (\cos^2 a — 0,0625)$$

Теперь выражаем $\cos a$:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — 0,25^2} = \sqrt{1 — 0,0625} = \sqrt{0,9375}$$

Приближенно:

$$\cos a \approx 0,968$$

Подставляем это значение в выражение для $f(4a)$:

$$f(4a) \approx 0,968 \cdot (0,968^2 — 0,0625)$$ $$0,968^2 \approx 0,937$$ $$f(4a) \approx 0,968 \cdot (0,937 — 0,0625) = 0,968 \cdot 0,8745$$ $$f(4a) \approx 0,846$$

Ответ:

$$f(4a) \approx 0,846$$

в) Известно, что $f(x) = \cos x$ и $f(a) = -0,1$, найти $f(3a)$;

Дано:

$$f(x) = \cos x, \quad f(a) = -0,1$$

Это означает, что $\cos a = -0,1$.

Найдем $f(3a)$, то есть значение функции для угла $3a$:

$$f(3a) = \cos(3a)$$

Используем формулу для $\cos(3x)$:

$$\cos(3x) = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$$

Подставляем $\cos a = -0,1$:

$$f(3a) = 4 \cdot (-0,1)^3 — 3 \cdot (-0,1)$$

Вычислим каждую часть выражения:

$$(-0,1)^3 = -0,001$$ $$4 \cdot (-0,001) = -0,004$$ $$-3 \cdot (-0,1) = 0,3$$

Следовательно:

$$f(3a) = -0,004 + 0,3 = 0,296$$

Ответ:

$$f(3a) = 0,296$$

г) Известно, что $f(x) = \cos x$ и $f(a) = \frac{2}{3}$, найти $f(4a)$;

Дано:

$$f(x) = \cos x, \quad f(a) = \frac{2}{3}$$

Это означает, что $\cos a = \frac{2}{3}$.

Найдем $f(4a)$, то есть значение функции для угла $4a$:

$$f(4a) = \cos(4a)$$

Используем формулу для $\cos(4x)$:

$$\cos(4x) = \cos^2(2x) — \sin^2(2x)$$

Для этого сначала найдём $\cos(2a)$ и $\sin(2a)$:

$$\cos(2a) = 2 \cos^2 a — 1$$ $$\sin(2a) = 2 \sin a \cdot \cos a$$

Подставляем $\cos a = \frac{2}{3}$:

$$\cos(2a) = 2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 — 1 = 2 \cdot \frac{4}{9} — 1 = \frac{8}{9} — 1 = -\frac{1}{9}$$ $$\sin(2a) = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a = 2 \cdot \sqrt{1 — \left( \frac{2}{3} \right)^2} \cdot \frac{2}{3}$$ $$\sin(2a) = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$$

Подставляем эти значения в выражение для $\cos(4a)$:

$$f(4a) = \cos^2(2a) — \sin^2(2a)$$

После подстановки и вычислений:

$$f(4a) = -\frac{79}{81}$$

Ответ:

$$f(4a) = -\frac{79}{81}$$

Итоговые ответы:

а) $f(3a) = 0,296$

б) $f(4a) \approx 0,846$

в) $f(3a) = 0,296$

г) $f(4a) = -\frac{79}{81}$