ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$ и $1 < t < 3$, вычислите $\operatorname{tg} t$;

б) Зная, что $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$ и $4 < t < 6$, вычислите $\operatorname{ctg} t$.

а) $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$;

$15 (\cos^2 t — \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$;

$15 ((1 — \sin^2 t) — \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$;

$15 (1 — 2 \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$;

$15 — 30 \sin^2 t + 8 \sin t — 6 = 0$;

$30 \sin^2 t — 8 \sin t — 6 = 0$;

$15 \sin^2 t — 4 \sin t — 3 = 0$;

Пусть $y = \sin t$, тогда:

$15y^2 — 4y — 3 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 15 \cdot 3 = 16 + 180 = 196$, тогда:

$y_1 = \frac{4 — 14}{2 \cdot 15} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$;

$y_2 = \frac{4 + 14}{2 \cdot 15} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$;

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти, значит:

$1 < t < 3$;

$\sin t > 0 \quad \Rightarrow \quad \sin t = \frac{3}{5}$;

$\cos t = \pm \sqrt{1 — \sin^2 t} = \pm \sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \pm \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$;

$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{3}{5}}{\pm \frac{4}{5}} = \frac{3}{5} : \left( \pm \frac{4}{5} \right) = \pm \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$;

Если точка $t$ принадлежит первой четверти, тогда:

$1 < t < \frac{\pi}{2}$;

$\operatorname{tg} t > \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 > \frac{3}{4}$;

$\operatorname{tg} t \neq \frac{3}{4}$;

Если точка $t$ принадлежит второй четверти, тогда:

$\frac{\pi}{2} < t < 3$;

$\operatorname{tg} t < 0$;

$\operatorname{tg} t < \operatorname{tg} \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.58$;

$\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$;

Ответ: $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$.

б) $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$;

$6 (\cos^2 t — \sin^2 t) + 5 \cos t + 3 = 0$;

$6 (\cos^2 t — (1 — \cos^2 t)) + 5 \cos t + 3 = 0$;

$6 (2 \cos^2 t — 1) + 5 \cos t + 3 = 0$;

$12 \cos^2 t — 6 + 5 \cos t + 3 = 0$;

$12 \cos^2 t + 5 \cos t — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos t$, тогда:

$12y^2 + 5y — 3 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 12 \cdot 3 = 25 + 144 = 169$, тогда:

$y_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$;

$y_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$;

Если точка $t$ принадлежит третьей четверти, тогда:

$4 < t < \frac{3\pi}{2}$;

$\cos t < 0$;

$\cos t > \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;

$\cos t \neq -\frac{3}{4}$;

Если точка $t$ принадлежит четвертой четверти, тогда:

$\frac{3\pi}{2} < t < 6$;

$\cos t > 0$;

$\cos t < \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$;

$\cos t = \frac{1}{3}$;

$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{1 — \left( \frac{1}{3} \right)^2} = -\sqrt{\frac{9}{9} — \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} : \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$;

Ответ: $\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

а) $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$

Исходное уравнение:

$$15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$$

Мы будем использовать тригонометрические тождества для преобразования этого уравнения.

Используем формулу для $\cos 2t$:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Подставляем в исходное уравнение:

$$15 (\cos^2 t — \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$$

Раскрываем скобки:

$$15 (\cos^2 t — \sin^2 t) = 15 \cos^2 t — 15 \sin^2 t$$

Получаем:

$$15 \cos^2 t — 15 \sin^2 t + 8 \sin t = 9$$

Преобразуем выражение $\cos^2 t$ через $\sin^2 t$:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t$$

Подставляем это:

$$15 (1 — \sin^2 t) — 15 \sin^2 t + 8 \sin t = 9$$

Упростим:

$$15 — 15 \sin^2 t — 15 \sin^2 t + 8 \sin t = 9$$

Сложим подобные члены:

$$15 — 30 \sin^2 t + 8 \sin t = 9$$

Переносим 9 на левую часть:

$$15 — 30 \sin^2 t + 8 \sin t — 9 = 0$$

Упростим:

$$30 \sin^2 t — 8 \sin t — 6 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin t$.

Разделим на 2 для удобства:

$$15 \sin^2 t — 4 \sin t — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Пусть $y = \sin t$, тогда уравнение примет вид:

$$15y^2 — 4y — 3 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-3) = 16 + 180 = 196$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{196}}{2 \cdot 15} = \frac{4 — 14}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 15} = \frac{4 + 14}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$$

Рассмотрим возможные значения для $\sin t$:
Поскольку точка $t$ находится в первой или второй четверти (где синус положителен), то выбираем значение $\sin t = \frac{3}{5}$.

Найдем $\cos t$:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 t = 1 — \sin^2 t = 1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Таким образом:

$$\cos t = \pm \frac{4}{5}$$

Найдем $\operatorname{tg} t$:

$$\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{3}{5}}{\pm \frac{4}{5}} = \pm \frac{3}{4}$$

Поскольку точка $t$ находится в первой или второй четверти, мы выбираем знак:

$$\operatorname{tg} t = \frac{3}{4}$$

Если точка $t$ принадлежит первой четверти:
Тогда:

$$1 < t < \frac{\pi}{2}$$

В этом интервале $\operatorname{tg} t$ должно быть больше 1, но $\frac{3}{4}$ меньше 1, следовательно, это значение не подходит.

Если точка $t$ принадлежит второй четверти:
Тогда:

$$\frac{\pi}{2} < t < 3$$

В этом интервале $\operatorname{tg} t$ отрицательное, поэтому:

$$\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$$

Ответ:

$$\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$$

б) $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$

Исходное уравнение:

$$6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$$

Используем тождество для $\cos 2t$:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Подставляем в уравнение:

$$6 (\cos^2 t — \sin^2 t) + 5 \cos t + 3 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$6 \cos^2 t — 6 \sin^2 t + 5 \cos t + 3 = 0$$

Теперь преобразуем $\sin^2 t$ через $\cos^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t$$

Подставляем это:

$$6 \cos^2 t — 6 (1 — \cos^2 t) + 5 \cos t + 3 = 0$$

Упростим:

$$6 \cos^2 t — 6 + 6 \cos^2 t + 5 \cos t + 3 = 0$$

Получаем:

$$12 \cos^2 t + 5 \cos t — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение относительно $y = \cos t$:

$$12y^2 + 5y — 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 25 + 144 = 169$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{169}}{2 \cdot 12} = \frac{-5 — 13}{24} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$$ $$y_2 = \frac{-5 + 13}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

Рассмотрим значения $\cos t$:
Поскольку точка $t$ находится в третьей и четвертой четвертях, где $\cos t$ может быть отрицательным или положительным, будем учитывать это.

Если точка $t$ принадлежит третьей четверти:
Тогда:

$$4 < t < \frac{3\pi}{2}$$

В третьей четверти $\cos t$ отрицательно, значит:

$$\cos t = -\frac{3}{4}$$

Если точка $t$ принадлежит четвертой четверти:
Тогда:

$$\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$$

В четвертой четверти $\cos t$ положительно, значит:

$$\cos t = \frac{1}{3}$$

Находим $\sin t$ для $\cos t = \frac{1}{3}$:
Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t = 1 — \cos^2 t = 1 — \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

Таким образом:

$$\sin t = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Найдем $\operatorname{ctg} t$:

$$\operatorname{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} : \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4}$

б) $\operatorname{ctg} t = -\frac{\sqrt{2}}{4}$