ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что если $\sin^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos 2x = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + y\right)$;

б) Докажите, что если $\cos^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos (\pi + 2x) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} — y\right)$.

а) $\cos 2x = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + y\right)$;

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2\cdot \frac{1+\cos (\frac{2\pi }{4}+2y)}{2};$$

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{4} + 2y\right)}{2};$$ $$(1-{\sin }^{2}x)-{\sin }^{2}x=1+\cos (\frac{\pi }{2}+2y);$$

$$(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2y\right);$$ $$1-2{\sin }^{2}x=1-\sin 2y;$$

$$1 — 2\sin^2 x = 1 — \sin 2y;$$ $$2{\sin }^{2}x=\sin 2y;$$

$$2\sin^2 x = \sin 2y;$$ $$2{\sin }^{2}x=2\sin y\cdot \cos y;$$

$$2\sin^2 x = 2\sin y \cdot \cos y;$$ $$\sin^2 x = \sin y \cdot \cos y;$$

Что и требовалось доказать.

б) $\cos(\pi + 2x) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} — y\right)$;

$$-\cos 2x=2\cdot \frac{1-\cos (\frac{2\pi }{4}-2y)}{2};$$

$$-\cos 2x = 2 \cdot \frac{1 — \cos\left(\frac{2\pi}{4} — 2y\right)}{2};$$ $$-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=1-\cos (\frac{\pi }{2}-2y);$$

$$-(\cos^2 x — \sin^2 x) = 1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2y\right);$$ $${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=1-\sin 2y;$$

$$\sin^2 x — \cos^2 x = 1 — \sin 2y;$$ $$(1-{\cos }^{2}x)-{\cos }^{2}x=1-\sin 2y;$$

$$(1 — \cos^2 x) — \cos^2 x = 1 — \sin 2y;$$ $$1-2{\cos }^{2}x=1-\sin 2y;$$

$$1 — 2\cos^2 x = 1 — \sin 2y;$$ $$2{\cos }^{2}x=\sin 2y;$$

$$2\cos^2 x = \sin 2y;$$ $$2{\cos }^{2}x=2\sin y\cdot \cos y;$$

$$2\cos^2 x = 2\sin y \cdot \cos y;$$ $$\cos^2 x = \sin y \cdot \cos y;$$

Что и требовалось доказать.

а) $\cos 2x = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + y\right)$

Дано:

$$\cos 2x = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} + y\right)$$

Нам нужно доказать, что $\sin^2 x = \sin y \cdot \cos y$.

Используем формулу для $\cos 2x$:
Для $\cos 2x$ есть стандартная формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим это в уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \cos^2\left( \frac{\pi}{4} + y \right)$$

Используем формулу для $\cos^2$:
Теперь используем формулу для $\cos \left( \frac{\pi}{4} + y \right)$. Мы знаем, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} + y \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos y — \sin y)$$

Следовательно:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + y \right) = \frac{1}{2} \left( \cos^2 y + \sin^2 y — 2 \cos y \sin y \right)$$

Подставим это в уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \cdot \frac{1 + \cos \left( \frac{2\pi}{4} + 2y \right)}{2}$$

Получаем:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2y \right)$$

Используем тригонометрическое тождество для $\cos \left( \frac{\pi}{2} + 2y \right)$:
Зная, что $\cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\sin \theta$, получаем:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 1 — \sin 2y$$

Преобразуем уравнение:
Далее упростим это выражение:

$$1 — 2 \sin^2 x = 1 — \sin 2y$$

Теперь переместим все члены, не содержащие $x$, на одну сторону:

$$2 \sin^2 x = \sin 2y$$

Используем формулу для $\sin 2y$:
Известно, что:

$$\sin 2y = 2 \sin y \cos y$$

Подставляем это в уравнение:

$$2 \sin^2 x = 2 \sin y \cos y$$

Делим обе стороны на 2:
Получаем:

$$\sin^2 x = \sin y \cos y$$

Что и требовалось доказать.

б) $\cos(\pi + 2x) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} — y\right)$

Дано:

$$\cos(\pi + 2x) = 2 \sin^2\left( \frac{\pi}{4} — y \right)$$

Нам нужно доказать, что $\cos^2 x = \sin y \cos y$.

Используем формулу для $\cos(\pi + 2x)$:
Известно, что:

$$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$$

Таким образом:

$$\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$$

Подставляем это в уравнение:

$$-\cos 2x = 2 \sin^2\left( \frac{\pi}{4} — y \right)$$

Используем формулу для $\sin \left( \frac{\pi}{4} — y \right)$:
Аналогично предыдущему пункту, используя тождество для синуса суммы углов:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} — y \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos y + \sin y)$$

Получаем:

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — y \right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos \left( \frac{2\pi}{4} — 2y \right)}{2}$$

После упрощения:

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — y \right) = 1 — \cos\left( \frac{\pi}{2} — 2y \right)$$

Используем тождество для $\cos \left( \frac{\pi}{2} — 2y \right)$:
Известно, что:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \sin \theta$$

Подставляем это в уравнение:

$$-(\cos^2 x — \sin^2 x) = 1 — \sin 2y$$

Упростим уравнение:
Получаем:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = 1 — \sin 2y$$

Далее, преобразуем:

$$(1 — \cos^2 x) — \cos^2 x = 1 — \sin 2y$$

Сокращаем:

$$1 — 2 \cos^2 x = 1 — \sin 2y$$

Переносим все константы:

$$2 \cos^2 x = \sin 2y$$

Используем формулу для $\sin 2y$:
Известно, что:

$$\sin 2y = 2 \sin y \cos y$$

Подставляем это в уравнение:

$$2 \cos^2 x = 2 \sin y \cos y$$

Делим обе стороны на 2:
Получаем:

$$\cos^2 x = \sin y \cos y$$

Что и требовалось доказать.