ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $\operatorname{tg} x = \frac{1}{7}$, $\sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$. Докажите, что $x + 2y = \frac{\pi}{4}$.

б) Известно, что $\sin x = \frac{7}{25}$, $\cos y = \frac{7}{25}$, $\cos z = \frac{3}{5}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$, $0 < z < \frac{\pi}{2}$. Докажите, что $x + \frac{y}{2} = z$.

а) Известно, что $\operatorname{tg} x = \frac{1}{7}$, $\sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$ и $0 < x, y < \frac{\pi}{2}$;

Точка $y$ принадлежит первой четверти, значит:

$$\cos y = +\sqrt{1 — \sin^2 y} = \sqrt{1 — \left( \frac{\sqrt{10}}{10} \right)^2} = \sqrt{\frac{10}{10} — \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}};$$ $$\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3};$$ $$\operatorname{tg} 2y = \frac{2 \operatorname{tg} y}{1 — \operatorname{tg}^2 y} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 — \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 — \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4};$$ $$\operatorname{tg}(x + 2y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2y}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 2y} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4}{28} + \frac{21}{28}}{1 — \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1;$$ $$\operatorname{tg}(x + 2y) = \frac{25}{28} : \frac{25}{28} = 1;$$

Точка $x + 2y$ принадлежит первой четверти:

$$0 < 2y < \pi, \quad \operatorname{tg} 2y > 0;$$ $$0 < 2y < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < x + 2y < \pi, \quad \operatorname{tg}(x + 2y) > 0;$$ $$0 < x + 2y < \frac{\pi}{2};$$

Таким образом, достаточно доказать, что:

$$x + 2y = \frac{\pi}{4};$$ $$\operatorname{tg}(x + 2y) = \operatorname{tg}\left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$1 = 1;$$

Что и требовалось доказать.

б) Известно, что $\sin x = \frac{7}{25}$, $\cos y = \frac{7}{25}$, $\cos z = \frac{3}{5}$ и $0 < x, y, z < \frac{\pi}{2}$;

Точки $x$ и $\frac{y}{2}$ принадлежат первой четверти, значит:

$$\cos x = +\sqrt{1 — \sin^2 x} = \sqrt{1 — \left( \frac{7}{25} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25};$$ $$\cos \frac{y}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos y}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25 + 7}{2 \cdot 25}}{2}} = \sqrt{\frac{32}{50}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin \frac{y}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos y}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25 — 7}{2 \cdot 25}}{2}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$ $$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{y}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{y}{2};$$ $$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} — \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{96 — 21}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5};$$

Точки $x + \frac{y}{2}$ и $z$ принадлежат первой четверти:

$$0 < \frac{y}{2} < \frac{\pi}{4};$$ $$0 < x + \frac{y}{2} < \frac{3\pi}{4}, \quad \cos \left( x + \frac{y}{2} \right) > 0;$$ $$0 < x + \frac{y}{2} < \frac{\pi}{2};$$

Таким образом, достаточно доказать, что:

$$x + \frac{y}{2} = z;$$ $$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \cos z;$$ $$\frac{3}{5} = \frac{3}{5};$$

Что и требовалось доказать.

а) Известно, что $\operatorname{tg} x = \frac{1}{7}$, $\sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$ и $0 < x, y < \frac{\pi}{2}$;

Цель: Доказать, что $\operatorname{tg}(x + 2y) = 1$.

Начальные данные:
Мы знаем:

• $\operatorname{tg} x = \frac{1}{7}$ — это значение тангенса угла $x$.
• $\sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$ — это значение синуса угла $y$, и из условия $0 < y < \frac{\pi}{2}$, значит, угол $y$ находится в первой четверти.

Найдем $\cos y$:
Из тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, подставляем $\sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$:

$$\cos^2 y = 1 — \sin^2 y = 1 — \left( \frac{\sqrt{10}}{10} \right)^2 = 1 — \frac{10}{100} = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$$

Таким образом:

$$\cos y = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$$

Найдем $\operatorname{tg} y$:
Тангенс угла $y$ вычисляется как:

$$\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$

Найдем $\operatorname{tg} 2y$ с использованием формулы двойного угла для тангенса:
Формула для тангенса двойного угла:

$$\operatorname{tg} 2y = \frac{2 \operatorname{tg} y}{1 — \operatorname{tg}^2 y}$$

Подставляем $\operatorname{tg} y = \frac{1}{3}$:

$$\operatorname{tg} 2y = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 — \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 — \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$$

Используем формулу для $\operatorname{tg}(x + 2y)$:
Теперь можем найти $\operatorname{tg}(x + 2y)$ с помощью формулы для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(x + 2y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2y}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 2y}$$

Подставляем $\operatorname{tg} x = \frac{1}{7}$ и $\operatorname{tg} 2y = \frac{3}{4}$:

$$\operatorname{tg}(x + 2y) = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4}{28} + \frac{21}{28}}{1 — \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1$$

Результат: Мы доказали, что:

$$\operatorname{tg}(x + 2y) = 1$$

б) Известно, что $\sin x = \frac{7}{25}$, $\cos y = \frac{7}{25}$, $\cos z = \frac{3}{5}$ и $0 < x, y, z < \frac{\pi}{2}$;

Цель: Доказать, что $\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \cos z$.

Начальные данные:
Мы знаем:

• $\sin x = \frac{7}{25}$ — это значение синуса угла $x$.
• $\cos y = \frac{7}{25}$ — это значение косинуса угла $y$.
• $\cos z = \frac{3}{5}$ — это значение косинуса угла $z$.

Найдем $\cos x$:
Из тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, подставляем $\sin x = \frac{7}{25}$:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x = 1 — \left( \frac{7}{25} \right)^2 = 1 — \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$$

Таким образом:

$$\cos x = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$$

Найдем $\cos \frac{y}{2}$ и $\sin \frac{y}{2}$:
Для $\cos \frac{y}{2}$ используем формулу половинного угла:

$$\cos \frac{y}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos y}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25 + 7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{32}{50}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Для $\sin \frac{y}{2}$ используем аналогичную формулу:

$$\sin \frac{y}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos y}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25 — 7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

Найдем $\cos \left( x + \frac{y}{2} \right)$:
Для нахождения $\cos \left( x + \frac{y}{2} \right)$ используем формулу косинуса суммы углов:

$$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{y}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{y}{2}$$

Подставляем найденные значения:

$$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} — \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5}$$

Упростим выражение:

$$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \frac{96}{125} — \frac{21}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}$$

Сравниваем с $\cos z$:
Мы знаем, что $\cos z = \frac{3}{5}$.

Результат: Мы доказали, что:

$$\cos \left( x + \frac{y}{2} \right) = \cos z$$