ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $t = \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\tg \frac{t}{2}$;

б) Зная, что $t = \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\tg \frac{t}{2}$;

в) Зная, что $t = \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\tg \frac{t}{2}$;

г) Зная, что $t = \arcctg \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin \frac{t}{2}$, $\cos \frac{t}{2}$, $\tg \frac{t}{2}$.

а) Известно, что $t = \arccos \frac{3}{5}$;

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arccos \frac{3}{5} \leq \pi;$$ $$\cos t = \cos \left( \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{5};$$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой четверти:

$$t = \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad 0 \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 — 3}{2 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5};$$ $$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + 3}{2 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5};$$ $$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} : \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{2\sqrt{5}}{5}; \frac{1}{2}$.

б) Известно, что $t = \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq t < \frac{\pi}{2}, \quad \tg t < 0;$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq 0;$$ $$\tg t = \tg \left( \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \right) = -\frac{3}{4};$$ $$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16} + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{4} \leq \frac{t}{2} \leq 0;$$ $$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{5 — 4}{2 \cdot 5}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10};$$ $$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + 4}{2 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10};$$ $$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{-\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} : \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{10}{3\sqrt{10}} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; -\frac{1}{3}$.

в) Известно, что $t = \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \leq \frac{\pi}{2};$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq t < \frac{\pi}{2}, \quad \sin t < 0;$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq t \leq 0;$$ $$\sin t = \sin \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = -\frac{5}{13};$$ $$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{1 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит четвертой четверти:

$$-\frac{\pi}{4} \leq \frac{t}{2} \leq 0;$$ $$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{13 — 12}{2 \cdot 13}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26};$$ $$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{13 + 12}{2 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26};$$ $$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{-\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} : \frac{5\sqrt{26}}{26} = -\frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5\sqrt{26}} = -\frac{1}{5};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{26}}{26}; \frac{5\sqrt{26}}{26}; -\frac{1}{5}$.

г) Известно, что $t = \arcctg \frac{12}{5}$;

Точка $t$ принадлежит первой или второй четверти:

$$0 \leq \arcctg \frac{12}{5} \leq \pi;$$ $$\ctg t = \ctg \left( \arcctg \frac{12}{5} \right) = \frac{12}{5};$$ $$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2 t}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13};$$ $$\cos t = \ctg t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13};$$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой четверти:

$$0 \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{13 — 12}{2 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26};$$ $$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{13 + 12}{2 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26};$$ $$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} : \frac{5\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5\sqrt{26}} = \frac{1}{5};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}; \frac{5\sqrt{26}}{26}; \frac{1}{5}$.

а) Известно, что $t = \arccos \frac{3}{5}$;

Шаг 1: Понимание принадлежности точки $t$ первой или второй четверти.

Значение функции арккосинуса (или $\arccos x$) лежит в интервале от 0 до $\pi$ (включая границы), то есть:

$$0 \leq \arccos \frac{3}{5} \leq \pi.$$

Поскольку $\arccos \frac{3}{5}$ — это угол, лежащий в интервале от 0 до $\pi$, то точка $t$ может принадлежать либо первой, либо второй четверти.

Мы знаем, что:

$$\cos t = \frac{3}{5}.$$

Шаг 2: Разделение задачи на два подтипа для нахождения половины угла $\frac{t}{2}$.

Пункт 2.1: Половина угла $\frac{t}{2}$ в первой четверти.

Поскольку $0 \leq t \leq \pi$, то $0 \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\frac{t}{2}$ лежит в первой четверти.

Шаг 3: Вычисление тригонометрических функций для $\frac{t}{2}$.

3.1. Нахождение синуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для синуса половины угла:

$$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{3}{5}$:

$$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \frac{3}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{\frac{5}{5} — \frac{3}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{2}{10}} = +\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}.$$

3.2. Нахождение косинуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для косинуса половины угла:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{3}{5}$:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{8}{10}} = +\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

3.3. Нахождение тангенса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для тангенса половины угла:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}.$$

Подставим найденные значения синуса и косинуса:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} : \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}.$$

Ответ для пункта а): $\frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{2\sqrt{5}}{5}; \frac{1}{2}$.

б) Известно, что $t = \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$;

Шаг 1: Понимание принадлежности точки $t$ четвертой четверти.

Значение функции арктангенса (или $\arctg x$) лежит в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поскольку $\arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$ — это угол, лежащий в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то точка $t$ принадлежит четвертой четверти.

Шаг 2: Нахождение тригонометрических функций для угла $t$.

2.1. Нахождение тангенса для угла $t$.

Мы знаем, что:

$$\tg t = -\frac{3}{4}.$$

2.2. Нахождение косинуса для угла $t$.

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 t}}.$$

Подставим значение $\tg t = -\frac{3}{4}$:

$$\cos t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}} = \frac{4}{5}.$$

Шаг 3: Нахождение тригонометрических функций для половины угла $\frac{t}{2}$.

3.1. Нахождение синуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для синуса половины угла:

$$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{4}{5}$:

$$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{5}{5} — \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

3.2. Нахождение косинуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для косинуса половины угла:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{4}{5}$:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}}{2}} = +\sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

3.3. Нахождение тангенса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для тангенса половины угла:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}.$$

Подставим найденные значения синуса и косинуса:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} : \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{10}{3\sqrt{10}} = -\frac{1}{3}.$$

Ответ для пункта б): $-\frac{\sqrt{10}}{10}; \frac{3\sqrt{10}}{10}; -\frac{1}{3}$.

в) Известно, что $t = \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$;

Шаг 1: Понимание принадлежности точки $t$ четвертой четверти.

Значение функции арксинуса (или $\arcsin x$) лежит в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то есть:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \leq \frac{\pi}{2}.$$

Поскольку $\arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$ — это угол, лежащий в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, то точка $t$ принадлежит четвертой четверти.

Шаг 2: Нахождение тригонометрических функций для угла $t$.

2.1. Нахождение синуса для угла $t$.

Мы знаем, что:

$$\sin t = -\frac{5}{13}.$$

2.2. Нахождение косинуса для угла $t$.

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t}.$$

Подставим значение $\sin t = -\frac{5}{13}$:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Шаг 3: Нахождение тригонометрических функций для половины угла $\frac{t}{2}$.

3.1. Нахождение синуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для синуса половины угла:

$$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\sin \frac{t}{2} = -\sqrt{\frac{1 — \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{13 — 12}{2 \cdot 13}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}.$$

3.2. Нахождение косинуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для косинуса половины угла:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = +\sqrt{\frac{13 + 12}{2 \cdot 13}} = +\sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}.$$

3.3. Нахождение тангенса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для тангенса половины угла:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}.$$

Подставим найденные значения синуса и косинуса:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{-\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26} : \frac{5\sqrt{26}}{26} = -\frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5\sqrt{26}} = -\frac{1}{5}.$$

Ответ для пункта в): $-\frac{\sqrt{26}}{26}; \frac{5\sqrt{26}}{26}; -\frac{1}{5}$.

г) Известно, что $t = \arcctg \frac{12}{5}$;

Шаг 1: Понимание принадлежности точки $t$ первой или второй четверти.

Значение функции арккосеканс (или $\arcctg x$) лежит в интервале от 0 до $\pi$, то есть:

$$0 \leq \arcctg \frac{12}{5} \leq \pi.$$

Поскольку $\arcctg \frac{12}{5}$ — это угол, лежащий в интервале от 0 до $\pi$, то точка $t$ может принадлежать либо первой, либо второй четверти.

Шаг 2: Нахождение тригонометрических функций для угла $t$.

2.1. Нахождение котангенса для угла $t$.

Мы знаем, что:

$$\ctg t = \frac{12}{5}.$$

2.2. Нахождение синуса для угла $t$.

Используем формулу для синуса:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2 t}}.$$

Подставим значение $\ctg t = \frac{12}{5}$:

$$\sin t = +\sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{169}{25}}} = \frac{5}{13}.$$

2.3. Нахождение косинуса для угла $t$.

Используем формулу для косинуса:

$$\cos t = \ctg t \cdot \sin t = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}.$$

Шаг 3: Нахождение тригонометрических функций для половины угла $\frac{t}{2}$.

3.1. Нахождение синуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для синуса половины угла:

$$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\sin \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 — \frac{12}{13}}{2}} = +\sqrt{\frac{13 — 12}{2 \cdot 13}} = +\sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}.$$

3.2. Нахождение косинуса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для косинуса половины угла:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \cos t}{2}}.$$

Подставим значение $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\cos \frac{t}{2} = +\sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = +\sqrt{\frac{13 + 12}{2 \cdot 13}} = +\sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}.$$

3.3. Нахождение тангенса для половины угла $\frac{t}{2}$.

Используем формулу для тангенса половины угла:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}.$$

Подставим найденные значения синуса и косинуса:

$$\tg \frac{t}{2} = \frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26} : \frac{5\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{26} \cdot \frac{26}{5\sqrt{26}} = \frac{1}{5}.$$

Ответ для пункта г): $\frac{\sqrt{26}}{26}; \frac{5\sqrt{26}}{26}; \frac{1}{5}$.