ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 2x-2\cos x=0;$$

б)

$$2\sin x=\sin 2x;$$

в)

$$\sin 2x-\sin x=0;$$

г)

$$\sin 2x-\cos x=0$$

а)

$$\sin 2x — 2 \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — 2 \cos x = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x — 1 = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}.$$

б)

$$2 \sin x = \sin 2x;$$ $$2 \sin x — \sin 2x = 0;$$ $$2 \sin x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot (1 — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 — \cos x = 0;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\pi n}.$$

в)

$$\sin 2x — \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \cos x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0;$$ $$2 \cos x = 1;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}.$$

г)

$$\sin 2x — \cos x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x = 1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}.$$

а)

Рассмотрим уравнение:

$$\sin 2x — 2 \cos x = 0$$

Используем формулу удвоенного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2 \sin x \cos x — 2 \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$:

$$2 \cos x (\sin x — 1) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

$\cos x = 0$

При $\cos x = 0$, из этого уравнения получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения, которые равны $\frac{\pi}{2}$ плюс целое количество полных оборотов ($\pi$).

$\sin x — 1 = 0$

Решаем это уравнение:

$$\sin x = 1.$$

Из условия $\sin x = 1$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения $\frac{\pi}{2}$ плюс целое количество полных оборотов ($2\pi$).

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}.$$

б)

Рассмотрим уравнение:

$$2 \sin x = \sin 2x.$$

Используем формулу удвоенного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2 \sin x = 2 \sin x \cos x.$$

Вынесем $2 \sin x$ за скобки:

$$2 \sin x (1 — \cos x) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

$\sin x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\sin x = 0.$$

Из условия $\sin x = 0$ получаем:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения, которые кратны $\pi$.

$1 — \cos x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\cos x = 1.$$

Из условия $\cos x = 1$ получаем:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения, которые кратны $2\pi$.

Ответ:

$$\boxed{\pi n}.$$

в)

Рассмотрим уравнение:

$$\sin 2x — \sin x = 0.$$

Используем формулу удвоенного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2 \sin x \cos x — \sin x = 0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2 \cos x — 1) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

$\sin x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\sin x = 0.$$

Из условия $\sin x = 0$ получаем:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения, которые кратны $\pi$.

$2 \cos x — 1 = 0$

Решаем это уравнение:

$$2 \cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{1}{2}.$$

Для решения этого уравнения находим:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n.$$

Известно, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, следовательно:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}.$$

г)

Рассмотрим уравнение:

$$\sin 2x — \cos x = 0.$$

Используем формулу удвоенного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2 \sin x \cos x — \cos x = 0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (2 \sin x — 1) = 0.$$

Теперь у нас есть два возможных случая:

$\cos x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\cos x = 0.$$

Из условия $\cos x = 0$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это решение означает, что $x$ принимает значения, которые равны $\frac{\pi}{2}$ плюс целое количество полных оборотов ($\pi$).

$2 \sin x — 1 = 0$

Решаем это уравнение:

$$2 \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2}.$$

Для решения этого уравнения находим:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n.$$

Известно, что $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, следовательно:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}.$$