ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin x\cdot \cos x=1;$$

б)

$$\sin 4x\cdot \cos 4x=\frac{1}{2};$$

в)

$${\cos }^2\frac{x}{3}-{\sin }^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2};$$

г)

$${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$$

а)

$$\sin x \cdot \cos x = 1;$$ $$\frac{1}{2} \sin 2x = 1;$$ $$\sin 2x = 2;$$

Ответ: нет корней.

б)

$$\sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{2} \sin 8x = \frac{1}{2};$$ $$\sin 8x = 1;$$ $$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

в)

$$\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{2x}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{3}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

г)

$$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2};$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{1}{2};$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

а)

Дано:

$$\sin x \cdot \cos x = 1$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение с использованием тригонометрической тождества.

Известно тригонометрическое тождество:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$\sin 2x = 2$$

Шаг 2: Проанализируем полученное уравнение.

Мы получили:

$$\sin 2x = 2$$

Однако синус функции может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1, то есть:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1$$

Таким образом, значение $\sin 2x = 2$ невозможно. Это означает, что у данного уравнения нет решений.

Ответ: Нет корней.

б)

Дано:

$$\sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Применим тригонометрическое тождество для двойного угла.

Используем тождество для $\sin 2x$:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим его в исходное уравнение:

$$\sin 8x = 2 \cdot \sin 4x \cos 4x$$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$$\frac{1}{2} \sin 8x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Упростим уравнение.

Делим обе части на $\frac{1}{2}$:

$$\sin 8x = 1$$

Шаг 3: Найдем решение для $\sin 8x = 1$.

Синус функции равен 1, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2}$ с добавлением целых кратных $2\pi$. Таким образом, получаем:

$$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Решим для $x$.

Разделим обе части уравнения на 8:

$$x = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$

в)

Дано:

$$\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла.

Напоминаем тождество для косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Применим это тождество для угла $\frac{x}{3}$:

$$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Найдем решение для $\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2}$.

Косинус функции равен $\frac{1}{2}$, когда аргумент равен $\pm \frac{\pi}{3}$ с добавлением целых кратных $2\pi$. Таким образом, получаем:

$$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3: Решим для $x$.

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$:

$$x = \frac{3}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n$

г)

Дано:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение с помощью тождества для разности квадратов.

Рассмотрим разность квадратов:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = -\cos 2x$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$-\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Упростим уравнение.

Умножим обе части уравнения на -1:

$$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдем решение для $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.

Косинус функции равен $-\frac{1}{2}$, когда аргумент равен $\pi \pm \frac{\pi}{3}$ с добавлением целых кратных $2\pi$. Таким образом, получаем:

$$2x = \pm \left( \pi — \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Решим для $x$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$

Итоговые ответы:

а) Нет корней.
б) $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.
в) $x = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.
г) $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.