ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $\cos 2x + 3 \sin x = 1$;$$$$$$\sin x \cdot (2 \sin x — 3) = 0;$$

б) $\sin^2 x = -\cos 2x$;

в) $\cos 2x = \cos^2 x$;

г) $\cos 2x = 2 \sin^2 x$

Найти корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$:

а) $\cos 2x + 3 \sin x = 1$;

$$(\cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = \sin^2 x + \cos^2 x;$$ $$2 \sin^2 x — 3 \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \sin x — 3) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 3 = 0;$$ $$2 \sin x = 3;$$ $$\sin x = \frac{3}{2} \quad \text{— корней нет};$$

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

б) $\sin^2 x = -\cos 2x$;

$$\sin^2 x + \cos 2x = 0;$$ $$\sin^2 x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0;$$ $$\cos^2 x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

в) $\cos 2x = \cos^2 x$;

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos^2 x;$$ $$\sin^2 x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ: $0; \pi; 2\pi$.

г) $\cos 2x = 2 \sin^2 x$;

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin^2 x;$$ $$1 — \sin^2 x = 3 \sin^2 x;$$ $$4 \sin^2 x = 1;$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{4};$$ $$\sin x = \pm \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$.

а)

Дано:

$$\cos 2x + 3 \sin x = 1$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение с использованием тождества для $\cos 2x$.

Для того чтобы упростить уравнение, воспользуемся тригонометрическим тождеством для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим это тождество в исходное уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 3 \sin x = 1$$

Шаг 2: Переносим все элементы в одну сторону уравнения.

Переносим $1$ в правую часть уравнения:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 3 \sin x — 1 = 0$$

Шаг 3: Используем тождество для $\cos^2 x$.

Мы знаем, что:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Подставим это в уравнение:

$$1 — \sin^2 x — \sin^2 x + 3 \sin x — 1 = 0$$

Шаг 4: Упростим уравнение.

Упростим полученное уравнение:

$$1 — 2 \sin^2 x + 3 \sin x — 1 = 0$$ $$-2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель.

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x \cdot (-2 \sin x + 3) = 0$$

Шаг 6: Решаем два уравнения.

Теперь у нас два уравнения:

1. $\sin x = 0$
2. $-2 \sin x + 3 = 0$

Шаг 7: Решение первого уравнения.

Решим $\sin x = 0$:

$$x = \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)}$$

Для интервала $[0, 2\pi]$, возможные значения $x$ — это $x = 0, \pi, 2\pi$.

Шаг 8: Решение второго уравнения.

Решим $-2 \sin x + 3 = 0$:

$$2 \sin x = 3$$ $$\sin x = \frac{3}{2}$$

Но $\sin x$ не может быть больше 1, так как синус любого угла лежит в пределах от -1 до 1. Следовательно, у этого уравнения нет корней.

Ответ: $0; \pi; 2\pi$

б)

Дано:

$$\sin^2 x = -\cos 2x$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Переносим все элементы в одну сторону уравнения:

$$\sin^2 x + \cos 2x = 0$$

Шаг 2: Используем тождество для $\cos 2x$.

Для $\cos 2x$ используем тождество:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в уравнение:

$$\sin^2 x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 0$$

Шаг 3: Упрощаем уравнение.

Упростим:

$$\sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0$$ $$\cos^2 x = 0$$

Шаг 4: Находим корни.

Решаем $\cos^2 x = 0$:

$$\cos x = 0$$

Шаг 5: Решаем для $x$.

Косинус равен 0 в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Для интервала $[0, 2\pi]$ возможные значения:

$$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$

в)

Дано:

$$\cos 2x = \cos^2 x$$

Шаг 1: Используем тождество для $\cos 2x$.

Для $\cos 2x$ используем тождество:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos^2 x$$

Шаг 2: Убираем одинаковые слагаемые.

Отнимем $\cos^2 x$ с обеих сторон:

$$-\sin^2 x = 0$$

Шаг 3: Решаем для $x$.

Получаем $\sin^2 x = 0$, что дает:

$$\sin x = 0$$

Шаг 4: Находим корни.

Синус равен 0 в точках $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Для интервала $[0, 2\pi]$ возможные значения:

$$x = 0, \pi, 2\pi$$

Ответ: $0; \pi; 2\pi$

г)

Дано:

$$\cos 2x = 2 \sin^2 x$$

Шаг 1: Используем тождество для $\cos 2x$.

Для $\cos 2x$ используем тождество:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в уравнение:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \sin^2 x$$

Шаг 2: Упрощаем уравнение.

Переносим все элементы в одну сторону:

$$\cos^2 x — 3 \sin^2 x = 0$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$1 — \sin^2 x — 3 \sin^2 x = 0$$ $$1 — 4 \sin^2 x = 0$$

Шаг 3: Решаем для $\sin^2 x$.

Переносим $1$ в правую часть:

$$4 \sin^2 x = 1$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Находим $\sin x$.

Из этого получаем:

$$\sin x = \pm \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Решаем для $x$.

Зная, что $\sin x = \pm \frac{1}{2}$, находим:

$$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Для интервала $[0, 2\pi]$ возможные значения:

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

Итоговые ответы:

а) $0; \pi; 2\pi$
б) $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$
в) $0; \pi; 2\pi$
г) $\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$