ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 — \cos 2x + 3 \sin x = 0$;

б) $\cos 6x — \cos 3x — 2 = 0$;

в) $26 \sin x \cdot \cos x — \cos 4x + 7 = 0$;

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x$

а) $2 — \cos 2x + 3 \sin x = 0$;

$2 — (\cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = 0;$

$2 — (1 — \sin^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = 0;$

$1 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0;$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 + 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\sin x = -1;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = -\frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$

б) $\cos 6x — \cos 3x — 2 = 0$;

$(\cos^2 3x — \sin^2 3x) — \cos 3x — 2 = 0;$

$\cos^2 3x — (1 — \cos^2 3x) — \cos 3x — 2 = 0;$

$2 \cos^2 3x — \cos 3x — 3 = 0;$

Пусть $y = \cos 3x$, тогда:

$$2y^2 — y — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};$$

Первое значение:

$$\cos 3x = -1;$$ $$3x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\cos 3x = \frac{3}{2} — \text{корней нет};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}.$

в) $26 \sin x \cdot \cos x — \cos 4x + 7 = 0$;

$13 \sin 2x — (\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 7 = 0;$

$13 \sin 2x — (1 — \sin^2 2x — \sin^2 2x) + 7 = 0;$

$2 \sin^2 2x + 13 \sin 2x + 6 = 0;$

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$2y^2 + 13y + 6 = 0;$$ $$D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-13 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -8;$$ $$y_2 = \frac{-13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\sin 2x = -8 — \text{корней нет};$$

Второе значение:

$$\sin 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x$;

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x;$

$1^2 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x;$

$\frac{1}{2} \sin^2 2x + \frac{1}{2} \sin 2x — 1 = 0;$

$\sin^2 2x + \sin 2x — 2 = 0;$

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin 2x = -2 — \text{корней нет};$$

Второе значение:

$$\sin 2x = 1;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n.$

а) $2 — \cos 2x + 3 \sin x = 0$

Используем тождества для $\cos 2x$:

Известно, что:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$2 — (\cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x = 0$$

Упрощаем выражение:

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$2 — \cos^2 x + \sin^2 x + 3 \sin x = 0$$

Переводим в форму с $\sin x$:

Далее заменим $\cos^2 x$ с помощью тождества $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$2 — (1 — \sin^2 x) + \sin^2 x + 3 \sin x = 0$$

Упростим выражение:

$$2 — 1 + \sin^2 x + \sin^2 x + 3 \sin x = 0$$ $$1 + 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$$

Пусть $y = \sin x$:

Теперь решим квадратное уравнение относительно $y = \sin x$:

$$2y^2 + 3y + 1 = 0$$

Для решения применим формулу дискриминанта:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Решения уравнения:

$$y_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Решаем для $\sin x = -1$:

Если $\sin x = -1$, то:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Решаем для $\sin x = -\frac{1}{2}$:

Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Знаем, что:

$$\arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Следовательно:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

б) $\cos 6x — \cos 3x — 2 = 0$

Используем тождества для $\cos 6x$ и $\cos 3x$:

Для $\cos 6x$ и $\cos 3x$ можем использовать тождество для косинуса:

$$\cos 6x = \cos^2 3x — \sin^2 3x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$(\cos^2 3x — \sin^2 3x) — \cos 3x — 2 = 0$$

Упрощаем выражение:

Заменим $\cos^2 3x$ с помощью тождества $\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x$:

$$(1 — \sin^2 3x — \sin^2 3x) — \cos 3x — 2 = 0$$

Упростим:

$$1 — 2 \sin^2 3x — \cos 3x — 2 = 0$$ $$-2 \sin^2 3x — \cos 3x — 1 = 0$$

Переводим в форму для $\cos 3x$:

Перепишем уравнение:

$$2 \cos^2 3x — \cos 3x — 3 = 0$$

Пусть $y = \cos 3x$:

Решаем квадратное уравнение для $y = \cos 3x$:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{1 — 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Решаем для $\cos 3x = -1$:

Если $\cos 3x = -1$, то:

$$3x = \pi + 2\pi n$$

Следовательно:

$$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$$

Решаем для $\cos 3x = \frac{3}{2}$:

Это значение не имеет решения, так как $\cos 3x$ не может быть больше 1.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$$

в) $26 \sin x \cdot \cos x — \cos 4x + 7 = 0$

Используем тождества для $\sin x \cdot \cos x$:

Применяем формулу для удвоенного угла:

$$2 \sin x \cos x = \sin 2x$$

Таким образом:

$$13 \sin 2x — \cos 4x + 7 = 0$$

Используем тождества для $\cos 4x$:

$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x$, следовательно:

$$13 \sin 2x — (\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 7 = 0$$

Упрощаем выражение:

Заменяем $\cos^2 2x$ и $\sin^2 2x$:

$$13 \sin 2x — (1 — 2 \sin^2 2x) + 7 = 0$$

Упростим:

$$13 \sin 2x — 1 + 2 \sin^2 2x + 7 = 0$$ $$2 \sin^2 2x + 13 \sin 2x + 6 = 0$$

Пусть $y = \sin 2x$:

Решаем квадратное уравнение:

$$2y^2 + 13y + 6 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-13 — 11}{4} = \frac{-24}{4} = -8$$ $$y_2 = \frac{-13 + 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Решаем для $\sin 2x = -8$:

Так как $\sin 2x$ не может быть больше 1 по модулю, это уравнение не имеет решения.

Решаем для $\sin 2x = -\frac{1}{2}$:

Решение:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$ $$\arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Тогда:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

г) $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x$

Применяем тождества:

Используем идентичность $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и преобразуем:

$$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x$$

Упрощаем:

Заменим и упростим:

$$1^2 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Получаем:

$$\frac{1}{2} \sin^2 2x + \frac{1}{2} \sin 2x — 1 = 0$$ $$\sin^2 2x + \sin 2x — 2 = 0$$

Решаем для $y = \sin 2x$:

Решаем квадратное уравнение:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$

Решения:

$$y_1 = -2 \quad \text{(нет решений)}$$ $$y_2 = 1$$

Решаем для $\sin 2x = 1$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Следовательно:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$