ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\mathrm{tg}{75}^{\circ }}{1-{\mathrm{tg}}^2{75}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{2\mathrm{tg}\frac{5\pi }{12}}{{\mathrm{tg}}^2\frac{5\pi }{12}-1}$$

а)

$$\frac{\operatorname{tg} 75^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 150^\circ =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(180^\circ — 30^\circ) = -\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{6}$.

б)

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5 \pi}{12} — 1} = -\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{12}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{5 \pi}{12}} = -\operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{5 \pi}{12}\right) = -\operatorname{tg} \frac{5 \pi}{6} = -\operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) =$$ $$= -\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а)

Вычислить:

$$\frac{\operatorname{tg} 75^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 75^\circ}$$

Шаг 1: Распознаем формулу

Мы видим выражение, напоминающее формулу двойного угла для тангенса:

$$\operatorname{tg}(2x) = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x}$$

Из этой формулы можно выразить:

$$\frac{\operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(2x)$$

Применим её к нашему случаю, где $x = 75^\circ$:

$$\frac{\operatorname{tg} 75^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ)$$

Шаг 2: Умножим угол

$$2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$$

Подставим:

$$\frac{1}{2} \cdot \operatorname{tg}(150^\circ)$$

Шаг 3: Преобразуем тангенс 150°

150° — это угол из II четверти. В этой четверти тангенс отрицательный, и:

$$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ — 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ)$$

Шаг 4: Подставим значение $\operatorname{tg}(30^\circ)$

$$\operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Значит:

$$\operatorname{tg}(150^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5: Умножим на $\frac{1}{2}$

$$\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе:

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$$-\frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{6}}$$

б)

Вычислить:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{12} — 1}$$

Шаг 1: Узнаем формулу

Формула для тангенса двойного угла:

$$\operatorname{tg}(2x) = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x}$$

Но у нас в знаменателе стоит $\operatorname{tg}^2 x — 1$, а не $1 — \operatorname{tg}^2 x$.

Значит:

$$\frac{2 \operatorname{tg} x}{\operatorname{tg}^2 x — 1} = -\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = -\operatorname{tg}(2x)$$

Шаг 2: Применим к нашему выражению

Пусть $x = \frac{5\pi}{12}$, тогда:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12}}{\operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{12} — 1} = -\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = -\operatorname{tg}\left(\frac{10\pi}{12}\right)$$

Шаг 3: Сократим дробь

$$\frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$$

Значит:

$$= -\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$

Шаг 4: Преобразуем $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{6}$

$$\frac{5\pi}{6} = \pi — \frac{\pi}{6}$$

А мы знаем, что:

$$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x)$$

Значит:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Подставим:

$$-(-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 5: Подставим значение

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Рационализируем:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$