ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения:

а)

$$\cos x=\frac{\sin 22,5^{\circ }\cdot \cos 22,5^{\circ }}{{\cos }^{2}67,5^{\circ }-{\sin }^{2}67,5^{\circ }};$$

б)

$$\sin x=\frac{{\sin }^2{75}^{\circ }-{\cos }^2{75}^{\circ }}{4\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }}$$

Найти наибольший отрицательный корень уравнения:

а)

$$\cos x=\frac{\sin 22,5^{\circ }\cdot \cos 22,5^{\circ }}{{\cos }^{2}67,5^{\circ }-{\sin }^{2}67,5^{\circ }};$$

$$\cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cdot \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ — \sin^2 67,5^\circ};$$ $$\cos x=\frac{0,5\cdot \sin (2\cdot 22,5^{\circ })}{\cos (2\cdot 67,5^{\circ })};$$

$$\cos x = \frac{0,5 \cdot \sin(2 \cdot 22,5^\circ)}{\cos(2 \cdot 67,5^\circ)};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{\cos {135}^{\circ }};$$

$$2 \cos x = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{\cos ({90}^{\circ }+{45}^{\circ })};$$

$$2 \cos x = \frac{\sin 45^\circ}{\cos(90^\circ + 45^\circ)};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{-\sin {45}^{\circ }};$$

$$2 \cos x = \frac{\sin 45^\circ}{-\sin 45^\circ};$$ $$2\cos x=-1;$$

$$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x=-\frac{1}{2};$$

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n;$$

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x = -\frac{2\pi}{3} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = -120^\circ;$$

Ответ: $-120^\circ$.

б)

$$\sin x=\frac{{\sin }^2{75}^{\circ }-{\cos }^2{75}^{\circ }}{4\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }};$$

$$\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ};$$ $$\sin x=\frac{-({\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ })}{2\cdot 2\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }};$$

$$\sin x = \frac{-(\cos^2 75^\circ — \sin^2 75^\circ)}{2 \cdot 2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos (2\cdot {75}^{\circ })}{\sin (2\cdot {15}^{\circ })};$$

$$-2 \sin x = \frac{\cos(2 \cdot 75^\circ)}{\sin(2 \cdot 15^\circ)};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos {150}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = \frac{\cos 150^\circ}{\sin 30^\circ};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = \frac{\cos(180^\circ — 30^\circ)}{\sin 30^\circ};$$ $$-2\sin x=-\frac{\cos {30}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = -\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ};$$ $$2\sin x=\mathrm{ctg}{30}^{\circ };$$

$$2 \sin x = \operatorname{ctg} 30^\circ;$$ $$2\sin x=\sqrt{3};$$

$$2 \sin x = \sqrt{3};$$ $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x = -\frac{4\pi}{3} = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = -240^\circ;$$

Ответ: $-240^\circ$.

а)

Нам нужно решить уравнение:

$$\cos x = \frac{\sin 22,5^\circ \cdot \cos 22,5^\circ}{\cos^2 67,5^\circ — \sin^2 67,5^\circ}.$$

Шаг 1: Преобразование выражений с использованием тригонометрических идентичностей

Начнем с того, что заметим следующее:

$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)$ — это формула двойного угла для косинуса.

Таким образом:

$$\cos^2 67,5^\circ — \sin^2 67,5^\circ = \cos(2 \cdot 67,5^\circ) = \cos 135^\circ.$$

Также используем известную формулу для синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Таким образом:

$$\sin 22,5^\circ \cdot \cos 22,5^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22,5^\circ).$$

Шаг 2: Подставляем и упрощаем

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\cos x = \frac{0,5 \cdot \sin(2 \cdot 22,5^\circ)}{\cos 135^\circ}.$$

Заменим значения тригонометрических функций:

$$\sin(2 \cdot 22,5^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$\cos x = \frac{0,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь решаем уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, следовательно, $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет решение:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Подставляем значение $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Наибольший отрицательный корень

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Из выражения $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ мы видим, что наибольший отрицательный корень — это:

$$x = -\frac{2\pi}{3}.$$

Переведем его в градусы:

$$x = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{3} \right) = -120^\circ.$$

Ответ: $-120^\circ$.

б)

Нам нужно решить уравнение:

$$\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ}.$$

Шаг 1: Преобразование выражений с использованием тригонометрических идентичностей

Используем формулу для разности квадратов:

$$\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = -\cos(2\alpha).$$

Тогда:

$$\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos 150^\circ.$$

Также применим формулу для синуса двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha.$$

Тогда:

$$4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = 2 \sin 30^\circ = 1.$$

Шаг 2: Подставляем и упрощаем

Теперь подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\sin x = \frac{-\cos 150^\circ}{1}.$$

Заменим значение $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ$:

$$\sin x = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Решение уравнения

Теперь решаем уравнение:

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n$, где $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Значит, уравнение имеет решение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 4: Наибольший отрицательный корень

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Из выражения $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$ мы видим, что наибольший отрицательный корень — это:

$$x = -\frac{4\pi}{3}.$$

Переведем его в градусы:

$$x = -\left( \frac{180^\circ}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = -240^\circ.$$

Ответ: $-240^\circ$.