ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $4\sin x+\sin 2x=0,x\in [0;2\pi ];$

б) ${\cos }^2(3x+\frac{\pi }{4})-{\sin }^2(3x+\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{3}}{2}=0,x\in [\frac{3\pi }{4};\pi ]$

а) $4 \sin x + \sin 2x = 0, \quad x \in [0; 2\pi];$

$4 \sin x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$

$2 \sin x \cdot (2 + \cos x) = 0;$

Первое значение:

$\sin x = 0;$

$x = \pi n;$

Второе значение:

$2 — \cos x = 0;$

$\cos x = 2$ — корней нет;

Ответ: $0; \pi; 2\pi.$

б) $\cos^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) — \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, \quad x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right];$

$\frac{1 + \cos \left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} — \frac{1 — \cos \left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0;$

$2 \cos \left(6x + \frac{\pi}{2}\right) + \sqrt{3} = 0;$

$-2 \sin 6x + \sqrt{3} = 0;$

$2 \sin 6x = \sqrt{3};$

$\sin 6x = \frac{\sqrt{3}}{2};$

$6x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6};$

Значения на искомом отрезке:

$x(5) = (-1)^5 \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{18} + \frac{15\pi}{18} = \frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9};$

Ответ: $\frac{7\pi}{9}.$

а) Уравнение:

$$4 \sin x + \sin 2x = 0, \quad x \in [0; 2\pi]$$

Шаг 1. Используем формулу для $\sin 2x$.

Помним, что:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$4 \sin x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 2. Выносим $\sin x$ за скобки.

$$\sin x (4 + 2 \cos x) = 0$$

Теперь у нас два возможных случая для решения.

Шаг 3. Рассматриваем первый случай: $\sin x = 0$.

Когда $\sin x = 0$, это означает, что $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

В интервале $x \in [0; 2\pi]$ возможные значения $x$ — это $x = 0$, $x = \pi$, и $x = 2\pi$.

Шаг 4. Рассматриваем второй случай: $4 + 2 \cos x = 0$.

Решаем это уравнение:

$$4 + 2 \cos x = 0$$ $$2 \cos x = -4$$ $$\cos x = -2$$

Поскольку $\cos x$ не может быть меньше -1 или больше 1, то у этого уравнения нет решений.

Ответ для части а:

Таким образом, единственными решениями являются $x = 0$, $x = \pi$, и $x = 2\pi$.

Ответ:

$$x = 0, \pi, 2\pi$$

б) Уравнение:

$$\cos^2 \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) — \sin^2 \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0, \quad x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi \right]$$

Шаг 1. Преобразуем с помощью формулы для разности квадратов.

Мы знаем, что:

$$\cos^2 \theta — \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$$

Применим это к нашему выражению:

$$\cos \left( 2 \cdot \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$

Это упростится до:

$$\cos \left( 6x + \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$

Шаг 2. Решаем полученное уравнение.

Переносим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на правую сторону:

$$\cos \left( 6x + \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Здесь важно вспомнить, что $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ и $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Таким образом, мы можем записать два уравнения:

$$6x + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 6x + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Решаем каждое уравнение.

Первое уравнение:

$$6x + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Для удобства, вычитаем $\frac{\pi}{2}$ из обеих сторон:

$$6x = \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} — \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом:

$$6x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим обе стороны на 6:

$$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Второе уравнение:

$$6x + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$

Вынимаем $\frac{\pi}{2}$ из обеих сторон:

$$6x = \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6} — \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$

Таким образом:

$$6x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим обе стороны на 6:

$$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 4. Находим все решения на отрезке $x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$.

Теперь нужно найти такие значения $x$, которые лежат в интервале $\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right]$.

Рассмотрим первое уравнение $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

Для разных значений $n$ подставляем:

• Для $n = 0$: $x = \frac{\pi}{18}$, это меньше $\frac{3\pi}{4}$, значит, не подходит.
• Для $n = 1$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{18}$, это тоже меньше $\frac{3\pi}{4}$, не подходит.
• Для $n = 2$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{18} + \frac{12\pi}{18} = \frac{19\pi}{18}$, что больше $\pi$, не подходит.
• Для $n = 3$: $x = \frac{\pi}{18} + \pi = \frac{19\pi}{18}$, что снова больше $\pi$, не подходит.

Таким образом, получаем решение для $n = 5$.

Значение $x = \frac{7 \pi}{18} + \frac{5 \pi}{6}$ дает $\frac{14\pi}{18} = \frac{7\pi}{9}$.

Ответ: $\boxed{x = \frac{7\pi}{9}}$.