ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

а) $2 \cos^2 x — \sin 2x = (\cos x — \sin x)^2, \; x \in (-0,5\pi; 3\pi)$;

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2, \; x \in (-\pi; 3,5\pi)$

Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

а) $2 \cos^2 x — \sin 2x = (\cos x — \sin x)^2, \; x \in (-0,5\pi; 3\pi)$;

$2 \cos^2 x — \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x$;

$2 \cos^2 x — \sin 2x = 1 — \sin 2x$;

$2 \cos^2 x = 1$;

$2 — 2 \sin^2 x = 1$;

$2 \sin^2 x = 1$;

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$;

$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Первая серия корней:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} + \pi n < 3\pi$;

$-\frac{\pi}{4} < \pi n < \frac{13\pi}{4}$;

$-\frac{1}{4} < n < \frac{13}{4}$;

$0 \leq n \leq 3$;

Вторая серия корней:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \pi n < 3\pi$;

$-\frac{3\pi}{4} < \pi n < \frac{11\pi}{4}$;

$-\frac{3}{4} < n < \frac{11}{4}$;

$0 \leq n \leq 2$;

Ответ: 7.

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2, \; x \in (-\pi; 3,5\pi)$;

$6 \cos^2 x + \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x + 2$;

$6 \cos^2 x + \sin 2x = 1 + \sin 2x + 2$;

$6 \cos^2 x = 3$;

$2 \cos^2 x = 1$;

$2 — 2 \sin^2 x = 1$;

$2 \sin^2 x = 1$;

$\sin^2 x = \frac{1}{2}$;

$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Первая серия корней:

$-\pi < -\frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{7\pi}{2}$;

$-\frac{3\pi}{4} < \pi n < \frac{15\pi}{4}$;

$-\frac{3}{4} < n < \frac{15}{4}$;

$0 \leq n \leq 3$;

Вторая серия корней:

$-\pi < \frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{7\pi}{2}$;

$-\frac{5\pi}{4} < \pi n < \frac{13\pi}{4}$;

$-\frac{5}{4} < n < \frac{13}{4}$;

$-1 \leq n \leq 3$;

Ответ: 9.

а)

Уравнение:

$$2 \cos^2 x — \sin 2x = (\cos x — \sin x)^2, \; x \in (-0,5\pi; 3\pi)$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения.

Первое, что мы делаем, — это раскрываем квадрат на правой части:

$$(\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x — 2 \sin x \cos x + \sin^2 x$$

Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (по тождеству Пифагора), то получаем:

$$(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Теперь подставляем это в исходное уравнение:

$$2 \cos^2 x — \sin 2x = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Шаг 2. Используем формулу для $\sin 2x$.

Известно, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Подставляем это в уравнение:

$$2 \cos^2 x — 2 \sin x \cos x = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Шаг 3. Упростим уравнение.

Теперь убираем одинаковые термины с обеих сторон уравнения:

$$2 \cos^2 x = 1$$

Шаг 4. Выражаем $\cos^2 x$.

Решаем это уравнение относительно $\cos^2 x$:

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Находим $\cos x$.

Из того, что $\cos^2 x = \frac{1}{2}$, получаем:

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Находим $x$.

Теперь, чтобы найти $x$, воспользуемся обратной тригонометрической функцией:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2k\pi$$

Так как $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, то:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$

Шаг 7. Находим корни на заданном промежутке.

Нам нужно найти корни на промежутке $x \in (-0,5\pi; 3\pi)$. Для этого рассмотрим два случая:

1. $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$
2. $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Первая серия корней: $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Найдем значения $k$, при которых $x$ лежит на промежутке $(-0,5\pi; 3\pi)$.

Решаем неравенство:

$$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < 3\pi$$

Упростим его:

$$-\frac{\pi}{4} < 2k\pi < \frac{13\pi}{4}$$

Делим на $2\pi$:

$$-\frac{1}{4} < k < \frac{13}{4}$$

Таким образом, $k$ может быть $0, 1, 2, 3$.

Подставляем эти значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$
• При $k = 1$, $x = \frac{7\pi}{4}$
• При $k = 2$, $x = \frac{15\pi}{4}$
• При $k = 3$, $x = \frac{23\pi}{4}$

Таким образом, первая серия корней: $x = -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}$.

Вторая серия корней: $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Решаем неравенство:

$$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi < 3\pi$$

Упростим его:

$$-\frac{3\pi}{4} < 2k\pi < \frac{11\pi}{4}$$

Делим на $2\pi$:

$$-\frac{3}{4} < k < \frac{11}{4}$$

Таким образом, $k$ может быть $0, 1, 2$.

Подставляем эти значения $k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$
• При $k = 1$, $x = \frac{9\pi}{4}$
• При $k = 2$, $x = \frac{17\pi}{4}$

Таким образом, вторая серия корней: $x = \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$.

Ответ для части а):

Всего корней на промежутке $(-0,5\pi; 3\pi)$ — это корни из обеих серий:

$$x = -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}$$

Ответ: 7 корней.

б)

Уравнение:

$$6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2, \; x \in (-\pi; 3,5\pi)$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения.

Раскрываем квадрат на правой части:

$$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2 \sin x \cos x + \sin^2 x$$

И, опять-таки, используя тождество Пифагора $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$$

Теперь подставляем это в исходное уравнение:

$$6 \cos^2 x + \sin 2x = 1 + 2 \sin x \cos x + 2$$

Шаг 2. Используем формулу для $\sin 2x$.

Известно, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, подставляем это:

$$6 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 3 + 2 \sin x \cos x$$

Шаг 3. Упростим уравнение.

Теперь сокращаем одинаковые термины с обеих сторон:

$$6 \cos^2 x = 3$$

Шаг 4. Выражаем $\cos^2 x$.

Решаем это уравнение относительно $\cos^2 x$:

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Находим $\cos x$.

Так как $\cos^2 x = \frac{1}{2}$, то:

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Находим $x$.

Теперь, чтобы найти $x$, воспользуемся обратной тригонометрической функцией:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2k\pi$$

Так как $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, то:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$

Шаг 7. Находим корни на заданном промежутке.

Нам нужно найти корни на промежутке $x \in (-\pi; 3,5\pi)$. Для этого рассмотрим два случая:

1. $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$
2. $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Первая серия корней: $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Найдем значения $k$, при которых $x$ лежит на промежутке $(- \pi; 3,5\pi)$.

Решаем неравенство:

$$-\pi < -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < \frac{7\pi}{2}$$

Упростим его:

$$-\frac{5\pi}{4} < 2k\pi < \frac{15\pi}{4}$$

Делим на $2\pi$:

$$-\frac{5}{4} < k < \frac{15}{4}$$

Таким образом, $k$ может быть $0, 1, 2, 3$.

Подставляем эти значения $k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$
• При $k = 1$, $x = \frac{7\pi}{4}$
• При $k = 2$, $x = \frac{15\pi}{4}$
• При $k = 3$, $x = \frac{23\pi}{4}$

Вторая серия корней: $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$

Решаем неравенство:

$$-\pi < \frac{\pi}{4} + 2k\pi < \frac{7\pi}{2}$$

Упростим его:

$$-\frac{5\pi}{4} < 2k\pi < \frac{13\pi}{4}$$

Делим на $2\pi$:

$$-\frac{5}{4} < k < \frac{13}{4}$$

Таким образом, $k$ может быть $-1, 0, 1, 2, 3$.

Подставляем эти значения $k$:

• При $k = -1$, $x = -\frac{3\pi}{4}$
• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$
• При $k = 1$, $x = \frac{9\pi}{4}$
• При $k = 2$, $x = \frac{17\pi}{4}$
• При $k = 3$, $x = \frac{25\pi}{4}$

Ответ для части б):

Всего корней на промежутке $(- \pi; 3,5\pi)$ — это корни из обеих серий:

$$x = -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}, \frac{23\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}, \frac{25\pi}{4}$$

Ответ: 9 корней.