ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$;

б) $1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$;

в) $1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2}$;

г) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$

а) $1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$;$\mathrm{}$

$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2}$;

$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2}$;

$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} = 0$;

$\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

1) Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = 0;$
$\frac{x}{2} = \pi n;$
$x = 2\pi n;$

2) Второе уравнение:
$\sin \frac{x}{2} — 1 = 0;$
$\sin \frac{x}{2} = 1;$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$x = \pi + 4\pi n;$

Ответ: $2\pi n; \pi + 4\pi n$.

б) $1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$;$\mathrm{}$

$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}$;

$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$;

$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0$;

$\sin^2 \frac{x}{2} \cdot \left( 1 — \cos \frac{x}{2} \right) = 0$;

1) Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = 0;$
$\frac{x}{2} = \pi n;$
$x = 2\pi n;$

2) Второе уравнение:
$1 — \cos \frac{x}{2} = 0;$
$\cos \frac{x}{2} = 1;$
$\frac{x}{2} = 2\pi n;$
$x = 4\pi n;$

Ответ: $2\pi n$.

в) $1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2}$;$\mathrm{}$

$2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2}$;

$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2}$;

$\cos^2 \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 0$;

$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

1) Первое уравнение:
$\cos \frac{x}{2} = 0;$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \pi + 2\pi n;$

2) Второе уравнение:
$\cos \frac{x}{2} — 1 = 0;$
$\cos \frac{x}{2} = 1;$
$\frac{x}{2} = 2\pi n;$
$x = 4\pi n;$

Ответ: $\pi + 2\pi n; 4\pi n$.

г) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$;$$

$\sin x = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \cdot (1 + \cos x)$;

$\sin x = 1 — \cos x$;

$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| : \sqrt{2} \right.$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$

$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$

$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$1 + \cos x \neq 0;$
$\cos x \neq -1;$
$x \neq \pi + 2\pi n;$

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а)

Исходное уравнение:

$$1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Преобразуем первое уравнение:

$$1 — \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

$$\cos x = 1 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$1 — (1 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Упростим:

$$1 — 1 + 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2}$$ $$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2}$$

Делим обе части на 2:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}$$

Переносим все в одну сторону:

$$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Теперь нужно решить два уравнения:

1) Первое уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0$$

Решение этого уравнения:

$$\frac{x}{2} = \pi n \quad \text{(где \( n \) — целое число)}$$ $$x = 2\pi n$$

2) Второе уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} — 1 = 0$$

Решение этого уравнения:

$$\sin \frac{x}{2} = 1$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \pi + 4\pi n$$

Ответ для пункта а:

$$x = 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 4\pi n$$

б)

Исходное уравнение:

$$1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

$$\cos x = 1 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$1 — (1 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}) = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Упростим:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу для синуса удвоенного угла для $\sin x$:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Упростим:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Теперь перенесем все в одну сторону:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} — 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} \left( 1 — \cos \frac{x}{2} \right) = 0$$

Решаем два уравнения:

1) Первое уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = 0$$

Решение:

$$\frac{x}{2} = \pi n$$ $$x = 2\pi n$$

2) Второе уравнение:

$$1 — \cos \frac{x}{2} = 0$$

Решение:

$$\cos \frac{x}{2} = 1$$ $$\frac{x}{2} = 2\pi n$$ $$x = 4\pi n$$

Ответ для пункта б:

$$x = 2\pi n$$

в)

Исходное уравнение:

$$1 + \cos x = 2 \cos \frac{x}{2}$$

Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

$$\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} — 1$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$1 + (2 \cos^2 \frac{x}{2} — 1) = 2 \cos \frac{x}{2}$$

Упростим:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{x}{2}$$

Делим обе части на 2:

$$\cos^2 \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}$$

Переносим все в одну сторону:

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Теперь решаем два уравнения:

1) Первое уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} = 0$$

Решение:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \pi + 2\pi n$$

2) Второе уравнение:

$$\cos \frac{x}{2} — 1 = 0$$

Решение:

$$\cos \frac{x}{2} = 1$$ $$\frac{x}{2} = 2\pi n$$ $$x = 4\pi n$$

Ответ для пункта в:

$$x = \pi + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = 4\pi n$$

г)

Исходное уравнение:

$$\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$$

Используем формулу для тангенса:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{\sin x}$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x = \left( \frac{1 — \cos x}{\sin x} \right)^2 \cdot (1 + \cos x)$$

Упростим:

$$\sin x = \frac{(1 — \cos x)^2 (1 + \cos x)}{\sin^2 x}$$

Теперь умножим обе части на $\sin^2 x$, чтобы избавиться от дроби:

$$\sin^3 x = (1 — \cos x)^2 (1 + \cos x)$$

Упростим правую часть:

$$(1 — \cos x)^2 (1 + \cos x) = (1 — \cos^2 x)(1 + \cos x) = \sin^2 x (1 + \cos x)$$

Таким образом, получаем:

$$\sin^3 x = \sin^2 x (1 + \cos x)$$

Делим обе части на $\sin^2 x$ (при условии, что $\sin x \neq 0$):

$$\sin x = 1 + \cos x$$

Решаем это уравнение:

$$\sin x + \cos x = 1$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используем формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решаем уравнение для косинуса:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

Значение $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, следовательно:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Решения:

$$x_1 = 2\pi n$$ $$x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Условия существования выражения:

$$1 + \cos x \neq 0$$ $$\cos x \neq -1$$ $$x \neq \pi + 2\pi n$$

Ответ для пункта г:

$$x = 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Итоговые ответы:

а) $2\pi n$ и $\pi + 4\pi n$

б) $2\pi n$

в) $\pi + 2\pi n$ и $4\pi n$

г) $2\pi n$ и $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$