ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$${\sin }^{2}2x=1;$$

б)

$${\cos }^2(3x-\frac{\pi }{4})=\frac{3}{4};$$

в)

$${\sin }^2(2x-\frac{\pi }{6})=\frac{3}{4};$$

г)

$${\cos }^2(x+\frac{\pi }{3})=1$$

а)

$${\sin }^{2}2x=1;$$

$$\sin^2 2x = 1;$$ $$\frac{1-\cos 4x}{2}=1;$$

$$\frac{1 — \cos 4x}{2} = 1;$$ $$1-\cos 4x=2;$$

$$1 — \cos 4x = 2;$$ $$\cos 4x=-1;$$

$$\cos 4x = -1;$$ $$4x=\pi +2\pi n;$$

$$4x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{4}(\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}.$$

б)

$${\cos }^2(3x-\frac{\pi }{4})=\frac{3}{4};$$

$$\cos^2 \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4};$$ $$\frac{1+\cos (6x-\frac{\pi }{2})}{2}=\frac{3}{4};$$

$$\frac{1 + \cos \left(6x — \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \frac{3}{4};$$ $$1+\cos (\frac{\pi }{2}-6x)=\frac{3}{2};$$

$$1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 6x\right) = \frac{3}{2};$$ $$\cos (\frac{\pi }{2}-6x)=\frac{1}{2};$$

$$\cos \left(\frac{\pi}{2} — 6x\right) = \frac{1}{2};$$ $$\sin 6x=\frac{1}{2};$$

$$\sin 6x = \frac{1}{2};$$ $$6x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;$$

$$6x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{6} \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6};$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}}.$$

в)

$${\sin }^2(2x-\frac{\pi }{6})=\frac{3}{4};$$

$$\sin^2 \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4};$$ $$\frac{1-\cos (4x-\frac{\pi }{3})}{2}=\frac{3}{4};$$

$$\frac{1 — \cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{3}{4};$$ $$1-\cos (4x-\frac{\pi }{3})=\frac{3}{2};$$

$$1 — \cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2};$$ $$\cos \left(4x — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$4x-\frac{\pi }{3}=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$

$$4x — \frac{\pi}{3} = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$4x=\frac{\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}+2\pi n=-\frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

$$4x = \frac{\pi}{3} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе значение:

$$4x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}+2\pi n=\pi +2\pi n;$$

$$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}.$$

г)

$${\cos }^2(x+\frac{\pi }{3})=1;$$

$$\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1;$$ $$\frac{1+\cos (2x+\frac{2\pi }{3})}{2}=1;$$

$$\frac{1 + \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = 1;$$ $$1+\cos (2x+\frac{2\pi }{3})=2;$$

$$1 + \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 2;$$ $$\cos (2x+\frac{2\pi }{3})=1;$$

$$\cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = 1;$$ $$2x+\frac{2\pi }{3}=2\pi n;$$

$$2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi n;$$ $$2x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$

$$2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{3} + \pi n}.$$

а)

Исходное уравнение:

$$\sin^2 2x = 1$$

Решим это уравнение.
Здесь мы имеем квадрат синуса. Поскольку $\sin^2 \theta \leq 1$ для любого угла $\theta$, уравнение $\sin^2 2x = 1$ можно переписать как:

$$\sin 2x = \pm 1$$

Значит, нам нужно найти $x$, при которых $\sin 2x = 1$ или $\sin 2x = -1$.

Решение для $\sin 2x = 1$:
Это происходит, когда:

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Где $n$ — целое число. Тогда:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решение для $\sin 2x = -1$:
Это происходит, когда:

$$2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Преобразуем уравнение в другую форму.
Дано уравнение $\frac{1 — \cos 4x}{2} = 1$. Умножим обе стороны на 2:

$$1 — \cos 4x = 2$$

Теперь решим:

$$\cos 4x = -1$$

Решение для $\cos 4x = -1$:

$$4x = \pi + 2\pi n$$

Таким образом:

$$x = \frac{1}{4}(\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для пункта а:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Исходное уравнение:

$$\cos^2 \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4}$$

Преобразуем уравнение.
Используем ту же методику, что и в предыдущем пункте. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$\cos \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь решаем два случая:

1. $\cos \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\cos \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. Решение для $\cos \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
   Это происходит, когда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Таким образом:

$$3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Решим для двух случаев:

• Для $+\frac{\pi}{6}$:

$$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$$

• Для $-\frac{\pi}{6}$:

$$3x = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$$

Решение для $\cos \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Это происходит, когда:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Тогда:

$$3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Решим для двух случаев:

• Для $+\frac{5\pi}{6}$:

$$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$$

• Для $-\frac{5\pi}{6}$:

$$3x = \frac{\pi}{4} — \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ для пункта б:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}}$$

в)

Исходное уравнение:

$$\sin^2 \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4}$$

Решаем уравнение.
Извлекаем квадратный корень:

$$\sin \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь решим два случая:

1. $\sin \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\sin \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. Решение для $\sin \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
   Это происходит, когда:

$$2x — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Тогда:

$$2x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Решим для двух случаев:

• Для $+\frac{\pi}{3}$:

$$2x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

• Для $-\frac{\pi}{3}$:

$$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$$

Решение для $\sin \left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Это происходит, когда:

$$2x — \frac{\pi}{6} = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Тогда:

$$2x = \frac{\pi}{6} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решим для двух случаев:

• Для $+\frac{2\pi}{3}$:

$$2x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$$

• Для $-\frac{2\pi}{3}$:

$$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$$

Ответ для пункта в:

$$\boxed{-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

г)

Исходное уравнение:

$$\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$

Решаем уравнение.
Извлекаем квадратный корень:

$$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \pm 1$$

Теперь решим два случая:

1. $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$
2. $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$
3. Решение для $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$:
   Это происходит, когда:

$$x + \frac{\pi}{3} = 2\pi n$$

Тогда:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Решение для $\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$:
Это происходит, когда:

$$x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \pi + 2\pi n — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ для пункта г:

$$\boxed{-\frac{\pi}{3} + \pi n}$$