ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x;$$

б)

$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$

а)

$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x;$$

$$\sin 2x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x;$$ $$({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+2\sin x\cdot \cos x-1=2-2\cos x-2\sin x;$$

$$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cdot \cos x — 1 = 2 — 2 \cos x — 2 \sin x;$$ $$(\sin x + \cos x)^2 — 1 = 2 — 2 (\sin x + \cos x);$$

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$$y^2-1=2-2y;$$

$$y^2 — 1 = 2 — 2y;$$ $$y^2+2y-3=0;$$

$$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin x+\cos x=-3\text{— корней нет:}$$

$$\sin x + \cos x = -3 \quad \text{— корней нет:}$$ $$\sin x \geq -1, \quad \cos x \geq -1;$$

Второе значение:

$$\sin x+\cos x=1\mid :\sqrt{2};$$

$$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| : \sqrt{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin x+\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x-\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n=2\pi n;$$

$$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

б)

$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7;$$

$$4 \sin 2x + 8 (\sin x — \cos x) = 7;$$ $$8(\sin x-\cos x)=3+4-4\sin 2x;$$

$$8 (\sin x — \cos x) = 3 + 4 — 4 \sin 2x;$$ $$8(\sin x-\cos x)=3+4({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)-8\sin x\cdot \cos x;$$

$$8 (\sin x — \cos x) = 3 + 4 (\sin^2 x + \cos^2 x) — 8 \sin x \cdot \cos x;$$ $$8 (\sin x — \cos x) = 3 + 4 (\sin x — \cos x)^2;$$

Пусть $y = \sin x — \cos x$, тогда:

$$8y=3+4y^2;$$

$$8y = 3 + 4y^2;$$ $$4y^2-8y+3=0;$$

$$4y^2 — 8y + 3 = 0;$$ $$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16,\text{тогда:}$$

$$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};$$

Первое значение:

$$\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\mid :\sqrt{2};$$

$$\sin x — \cos x = \frac{1}{2} \quad \left| : \sqrt{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2\sqrt{2}};$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2\sqrt{2}};$$ $$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{4};$$

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4};$$ $$\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4};$$

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4};$$ $$x-\frac{\pi }{4}=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}+\pi n;$$

$$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x-\cos x=\frac{3}{2}\mid :\sqrt{2};$$

$$\sin x — \cos x = \frac{3}{2} \quad \left| : \sqrt{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{3}{2\sqrt{2}};$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{3}{2\sqrt{2}};$$ $$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos x=\frac{3\sqrt{2}}{4};$$

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{3\sqrt{2}}{4};$$ $$\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{3\sqrt{2}}{4}\text{— корней нет; }$$

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\sqrt{2}}{4} \quad \text{— корней нет; }$$ $$2 > \frac{16}{9} \Rightarrow \sqrt{2} > \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{3\sqrt{2}}{4} > 1;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi n$.

а)

Уравнение:

$$\sin 2x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x$$

Используем формулы для тригонометрических функций:

Мы знаем, что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ (формула удвоенного угла). Подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin x \cos x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x$$

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$$2 \sin x \cos x + 2 \sin x + 2 \cos x — 2 = 0$$

Группируем подобные члены:

$$2 (\sin x \cos x + \sin x + \cos x) — 2 = 0$$

Добавляем единицу в обе части уравнения:

$$2 (\sin x \cos x + \sin x + \cos x) = 2$$

Делим обе части на 2:

$$\sin x \cos x + \sin x + \cos x = 1$$

Предположим, что $y = \sin x + \cos x$, для упрощения:

Подставим $y = \sin x + \cos x$:

$$y^2 — 1 = 2 — 2y$$

Раскрываем скобки:

$$y^2 — 1 = 2 — 2y$$ $$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Уравнение $y^2 + 2y — 3 = 0$ можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ равен:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 4}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Таким образом, получаем два значения для $y$:

$$y_1 = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = 1$$

Рассматриваем первое значение $y_1 = -3$:

$$\sin x + \cos x = -3$$

Это невозможное решение, так как значения $\sin x$ и $\cos x$ всегда находятся в пределах $[-1, 1]$. Следовательно, корней для этого значения нет.

Рассматриваем второе значение $y_2 = 1$:

$$\sin x + \cos x = 1$$

Это возможно. Мы можем использовать следующую тригонометрическую формулу:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cdot \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$$

Таким образом, у нас получается:

$$\sqrt{2} \cdot \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$$

Значит:

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Теперь из этого уравнения находим $x$:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ для первой части задачи:

$$x = 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

б)

Уравнение:

$$4 \sin 2x + 8 (\sin x — \cos x) = 7$$

Используем формулу для удвоенного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставляем в уравнение:

$$4 \cdot 2 \sin x \cos x + 8 (\sin x — \cos x) = 7$$ $$8 \sin x \cos x + 8 (\sin x — \cos x) = 7$$

Группируем слагаемые:

$$8 (\sin x \cos x + \sin x — \cos x) = 7$$

Делим обе части на 8:

$$\sin x \cos x + \sin x — \cos x = \frac{7}{8}$$

Пусть $y = \sin x — \cos x$:

Теперь подставляем $y = \sin x — \cos x$:

$$8y = 3 + 4y^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$4y^2 — 8y + 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Для уравнения $4y^2 — 8y + 3 = 0$ находим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Таким образом, получаем два значения для $y$:

$$y_1 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3}{2}$$

Рассматриваем первое значение $y_1 = \frac{1}{2}$:

$$\sin x — \cos x = \frac{1}{2}$$

Мы используем аналогичную технику, как в части (а):

$$\sin x — \cos x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Решаем для $x$:

$$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2\sqrt{2}} + \pi n$$

Рассматриваем второе значение $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$\sin x — \cos x = \frac{3}{2}$$

Для этого значения мы видим, что:

$$\sin x — \cos x = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Однако это значение невозможно, так как $\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$ не может быть больше 1.

Ответ для второй части задачи:

$$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4} + \pi n$$