ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

б) $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

Доказать тождество:

а) $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{\sin 2 \frac{x}{2}}{1} = \sin x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 — \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}}{1 + \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{(1 + \cos x) — (1 — \cos x)}{(1 + \cos x) + (1 — \cos x)} = \frac{2 \cos x}{2} = \cos x;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

а) $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

Для доказательства этого тождества начнем с того, что правую часть равенства необходимо преобразовать и привести к выражению для $\sin x$.

Шаг 1: Используем определение тангенса.

Рассмотрим правую часть:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}.$$

Мы знаем, что тангенс угла $\frac{x}{2}$ можно выразить как:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}.$$

Подставим это выражение в исходную формулу:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \right)^2}.$$

Шаг 2: Упростим знаменатель.

В знаменателе у нас выражение вида $\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \right)^2$, которое можно записать как:

$$1 + \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Так как $\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1$ (по тождеству Пифагора), мы получаем:

$$1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Шаг 3: Подставим обратно в исходное выражение.

Теперь подставим это в числитель и знаменатель исходного выражения:

$$\frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}.$$

Шаг 4: Используем формулу для синуса двойного угла.

Мы знаем формулу для синуса двойного угла:

$$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha.$$

Подставим в нее $\alpha = \frac{x}{2}$:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \sin x.$$

Тождество доказано.

б) $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$;

Теперь перейдем ко второму тождеству. Рассмотрим правую часть:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}.$$

Шаг 1: Выражаем тангенс через синус и косинус.

По аналогии с предыдущим случаем, тангенс угла $\frac{x}{2}$ можно выразить через синус и косинус:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}.$$

Таким образом, $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}$ будет:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 — \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}.$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю.

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю:

$$\frac{1 — \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}.$$

Шаг 3: Упрощаем выражение.

Часто встречающееся тождество $\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1$ позволяет упростить знаменатель:

$$\frac{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Теперь числитель можно переписать как:

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos x.$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{\cos x}{\cos^2 \frac{x}{2}}.$$

Шаг 4: Упростим окончательно.

Так как $\frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$, получаем:

$$\frac{\cos x}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \cos x.$$

Тождество доказано.