ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\frac{\sin 2t-2\sin t}{\cos t-1}$

б) $\frac{\cos 2t-{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}$

в) $\sin 2t\cdot ctgt-1$

г) $2{\cos }^2\frac{\pi +t}{4}-2{\sin }^2\frac{\pi +t}{4}$

а) $\frac{\sin 2t — 2 \sin t}{\cos t — 1} = \frac{2 \sin t \cdot \cos t — 2 \sin t}{\cos t — 1} = \frac{2 \sin t \cdot (\cos t — 1)}{\cos t — 1} = 2 \sin t$;

Ответ: $2 \sin t$.

б) $\frac{\cos 2t — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t} = \frac{(\cos^2 t — \sin^2 t) — \cos^2 t}{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t} = \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1$;

Ответ: $-1$.

в) $\sin 2t\cdot ctgt-1=2\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1=2{\cos }^{2}t-$

$\sin 2t \cdot ctg t — 1 = 2 \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} — 1 = 2 \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t) = \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$;

Ответ: $\cos 2t$.

г) $2{\cos }^2\frac{\pi +t}{4}-2{\sin }^2\frac{\pi +t}{4}=2({\cos }^2\frac{\pi +t}{4}-{\sin }^2\frac{\pi +t}{4})=$

$2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} — 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4} = 2 \left( \cos^2 \frac{\pi + t}{4} — \sin^2 \frac{\pi + t}{4} \right) = 2 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi + t}{4} \right) = 2 \cos \frac{\pi + t}{2} = 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) = -2 \sin \frac{t}{2}$;

Ответ: $-2 \sin \frac{t}{2}$.

а)

$$\frac{\sin 2t — 2 \sin t}{\cos t — 1}$$

Шаг 1. Вспомним формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$$

Шаг 2. Подставим это в числитель:

$$\frac{2 \sin t \cos t — 2 \sin t}{\cos t — 1}$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $2 \sin t$ из числителя:

$$\frac{2 \sin t (\cos t — 1)}{\cos t — 1}$$

Шаг 4. Сократим дробь на $(\cos t — 1)$, предполагая $\cos t \ne 1$ (иначе знаменатель равен нулю):

$$2 \sin t$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin t}$$

б)

$$\frac{\cos 2t — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 1. Вспомним формулу двойного угла для косинуса:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2. Подставим это в числитель:

$$\frac{(\cos^2 t — \sin^2 t) — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 3. Упростим числитель:

$$\cos^2 t — \sin^2 t — \cos^2 t = -\sin^2 t$$

Шаг 4. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t$$

Шаг 5. Подставим упрощённые выражения:

$$\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t}$$

Шаг 6. Сократим:

$$-1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

в)

$$\sin 2t \cdot \cot t — 1$$

Шаг 1. Распишем формулу двойного угла:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$$

Шаг 2. Вспомним, что $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Шаг 3. Подставим:

$$2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} — 1$$

Шаг 4. Упростим:

$$\frac{2 \sin t \cos^2 t}{\sin t} — 1$$

Шаг 5. Сократим $\sin t$:

$$2 \cos^2 t — 1$$

Шаг 6. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$1 = \sin^2 t + \cos^2 t \Rightarrow -1 = -(\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 7. Тогда:

$$2 \cos^2 t — 1 = 2 \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t) = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 8. А это и есть:

$$\cos 2t$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 2t}$$

г)

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi + t}{4} \right) — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi + t}{4} \right)$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель $2$:

$$2 \left[ \cos^2 \left( \frac{\pi + t}{4} \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi + t}{4} \right) \right]$$

Шаг 2. Используем формулу:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

Шаг 3. Подставим:

$$2 \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi + t}{4} \right)$$

Шаг 4. Упростим аргумент:

$$2 \cdot \frac{\pi + t}{4} = \frac{2(\pi + t)}{4} = \frac{\pi + t}{2}$$

Шаг 5. Получаем:

$$2 \cos \left( \frac{\pi + t}{2} \right)$$

Шаг 6. Преобразуем:

$$\frac{\pi + t}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}$$

Шаг 7. Используем формулу:

$$\cos\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x$$ $$\Rightarrow \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) = -\sin \left( \frac{t}{2} \right)$$

Шаг 8. Подставим:

$$2 \cdot \left(-\sin \frac{t}{2} \right) = -2 \sin \frac{t}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-2 \sin \frac{t}{2}}$$