ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

a) $4 \sin^2 3x < 3$;

б) $4 \cos^2 \frac{x}{4} > 1$

a) $4 \sin^2 3x < 3$;

$$4 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} < 3$$ $$2 — 2 \cos 6x < 3$$ $$2 \cos 6x > -1$$ $$\cos 6x > -\frac{1}{2}$$

Равенство выполняется при:

$$\cos 6x = -\frac{1}{2}$$ $$6x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решения неравенства:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 6x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

б) $4 \cos^2 \frac{x}{4} > 1$;

$$4 \cdot \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} > 1$$ $$2 + 2 \cos \frac{x}{2} > 1$$ $$2 \cos \frac{x}{2} > -1$$ $$\cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{2}$$

Равенство выполняется при:

$$\cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$$ $$\frac{x}{2} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решения неравенства:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$$

a)

Неравенство:

$$4 \sin^2 3x < 3$$

Перепишем неравенство через косинус:

Используем тождество для синуса квадрата:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Тогда $\sin^2 3x = \frac{1 — \cos 6x}{2}$, и подставляем это в исходное неравенство:

$$4 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} < 3$$

Упростим выражение:

$$2(1 — \cos 6x) < 3$$

Теперь раскроем скобки:

$$2 — 2 \cos 6x < 3$$

Решим неравенство:

Переносим $2$ на правую сторону:

$$-2 \cos 6x < 1$$

Делим обе стороны неравенства на $-2$ (не забываем, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

$$\cos 6x > -\frac{1}{2}$$

Это и есть неравенство, которое нам нужно решить.

Решаем неравенство для косинуса:

Неравенство $\cos 6x > -\frac{1}{2}$ решается следующим образом. Косинус принимает значение $-\frac{1}{2}$ в следующих точках:

$$6x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то равенства выполняются при:

$$6x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решаем неравенство $\cos 6x > -\frac{1}{2}$:

Чтобы решить неравенство, найдем промежутки, в которых косинус больше $-\frac{1}{2}$. Косинус $-\frac{1}{2}$ принимает значения на интервалах между $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 6x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Получаем решение для $x$:

Теперь разделим обе стороны неравенства на 6:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 6x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим на 6:

$$-\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in \left( -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \right)$$

б)

Неравенство:

$$4 \cos^2 \frac{x}{4} > 1$$

Перепишем неравенство через косинус:

Используем тождество для косинуса квадрата:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

Тогда $\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$, и подставляем это в исходное неравенство:

$$4 \cdot \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} > 1$$

Упростим выражение:

$$2(1 + \cos \frac{x}{2}) > 1$$

Теперь раскроем скобки:

$$2 + 2 \cos \frac{x}{2} > 1$$

Решим неравенство:

Переносим $2$ на правую сторону:

$$2 \cos \frac{x}{2} > -1$$

Делим обе стороны на 2:

$$\cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{2}$$

Это и есть неравенство, которое нам нужно решить.

Решаем неравенство для косинуса:

Неравенство $\cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{2}$ решается следующим образом. Косинус принимает значение $-\frac{1}{2}$ в следующих точках:

$$\frac{x}{2} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то равенства выполняются при:

$$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решаем неравенство $\cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{2}$:

Чтобы решить неравенство, найдем промежутки, в которых косинус больше $-\frac{1}{2}$. Косинус $-\frac{1}{2}$ принимает значения на интервалах между $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Получаем решение для $x$:

Теперь умножим обе стороны неравенства на 2:

$$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$$

Таким образом, решение неравенства:

$$x \in \left( -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n, \frac{4\pi}{3} + 4\pi n \right)$$

$$x \in \left( -\frac{4\pi}{3} + 4\pi n, \frac{4\pi}{3} + 4\pi n \right)$$