ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin 2x \cdot \cos 2x < \frac{1}{4}$;

б) $\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$

а) $\sin 2x \cdot \cos 2x < \frac{1}{4}$;

$$\frac{1}{2} \sin 4x < \frac{1}{4};$$ $$\sin 4x < \frac{1}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\sin 4x = \frac{1}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Решения неравенства:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2};$$

б) $\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$;

$$\cos \frac{x}{2} > \frac{1}{2};$$

Равенство выполняется при:

$$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Решения неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n;$$

а) $\sin 2x \cdot \cos 2x < \frac{1}{4}$

Преобразуем выражение с помощью формулы двойного угла:

Используем формулу:

$$\sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 4\alpha$$

В нашем случае:

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$$

Тогда неравенство можно переписать как:

$$\frac{1}{2} \sin 4x < \frac{1}{4}$$

Умножим обе части неравенства на 2:

$$\sin 4x < \frac{1}{2}$$

Найдем, когда это неравенство будет равно:

Равенство выполняется, когда:

$$\sin 4x = \frac{1}{2}$$

Решим уравнение $\sin 4x = \frac{1}{2}$:

Синус равен $\frac{1}{2}$ при:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Таким образом, для всех целых $n$ решение уравнения:

$$x = \frac{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}{4}$$

Теперь решим неравенство $\sin 4x < \frac{1}{2}$:

Сначала найдем промежутки, где синус меньше $\frac{1}{2}$. Из того, что $\sin 4x = \frac{1}{2}$ при $4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $4x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, находим:

$$4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 4x = \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$$

То есть:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$$

Поделим неравенство на 4, чтобы выразить $x$:

$$\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

б) $\cos^2 \frac{x}{4} — \sin^2 \frac{x}{4} > \frac{1}{2}$

Применим формулу разности квадратов:

$$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$$

Подставляем:

$$\cos \frac{x}{2} > \frac{1}{2}$$

Решаем неравенство $\cos \frac{x}{2} > \frac{1}{2}$:

Косинус больше $\frac{1}{2}$ на интервале:

$$-\frac{\pi}{3} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{3}$$

Умножим на 2, чтобы получить решение для $x$:

$$-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$$

Найдем, когда равенство выполняется:

Равенство выполняется, когда:

$$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$$

Это происходит при:

$$\frac{x}{2} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

То есть:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Решения неравенства:

Нахождение интервала, на котором $\cos \frac{x}{2} > \frac{1}{2}$, даёт:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Таким образом, решения задачи для обоих неравенств:

а) $\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{13\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$

б) $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$