ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$${\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x\le -1;$$

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x \leq -1;$$ $$$$

б)

$$\sin 5x\cdot \cos 5x\ge \frac{1}{2};$$

в)

$${\sin }^{2}3x-{\cos }^{2}3x\le -1;$$

$$\sin^2 3x — \cos^2 3x \leq -1;$$ $${}^{}$$

г)

$$\sin \frac{2x}{3}\cdot \cos \frac{2x}{3}\le -\frac{1}{2}$$

а)

$${\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x\le -1;$$

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x \leq -1;$$ $$\cos 4x\le -1;$$

$$\cos 4x \leq -1;$$ $$\cos 4x=-1;$$

$$\cos 4x = -1;$$ $$4x=\pi +2\pi n;$$

$$4x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

$$\sin 5x\cdot \cos 5x\ge \frac{1}{2};$$

$$\sin 5x \cdot \cos 5x \geq \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{2}\sin 10x\ge \frac{1}{2};$$

$$\frac{1}{2} \sin 10x \geq \frac{1}{2};$$ $$\sin 10x\ge 1;$$

$$\sin 10x \geq 1;$$ $$\sin 10x=1;$$

$$\sin 10x = 1;$$ $$10x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

$$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{10} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}$$

в)

$${\sin }^{2}3x-{\cos }^{2}3x\le -1;$$

$$\sin^2 3x — \cos^2 3x \leq -1;$$ $${\cos }^{2}3x-{\sin }^{2}3x\ge 1;$$

$$\cos^2 3x — \sin^2 3x \geq 1;$$ $$\cos 6x\ge 1;$$

$$\cos 6x \geq 1;$$ $$\cos 6x=1;$$

$$\cos 6x = 1;$$ $$6x=2\pi n;$$

$$6x = 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{6} \cdot 2\pi n = \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{3}}$$

г)

$$\sin \frac{2x}{3}\cdot \cos \frac{2x}{3}\le -\frac{1}{2};$$

$$\sin \frac{2x}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} \leq -\frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{2}\sin \frac{4x}{3}\le -\frac{1}{2};$$

$$\frac{1}{2} \sin \frac{4x}{3} \leq -\frac{1}{2};$$ $$\sin \frac{4x}{3}\le -1;$$

$$\sin \frac{4x}{3} \leq -1;$$ $$\sin \frac{4x}{3}=-1;$$

$$\sin \frac{4x}{3} = -1;$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{3\pi }{2}+2\pi n;$$

$$\frac{4x}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}}$$

а)

Необходимо решить неравенство:

$$\cos^2 2x — \sin^2 2x \leq -1$$

Используем формулу приведения:
Вспоминаем, что выражение $\cos^2 \theta — \sin^2 \theta$ является формулой косинуса двойного угла:

$$\cos^2 \theta — \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$$

Подставляем это в исходное неравенство:

$$\cos(4x) \leq -1$$

Решаем полученное неравенство:
Косинус принимает значение $-1$ при аргументе $\pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, мы получаем уравнение:

$$\cos 4x = -1 \quad \Rightarrow \quad 4x = \pi + 2\pi n$$

Решаем относительно $x$:
Делим обе части уравнения на 4:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Решаем неравенство:

$$\sin 5x \cdot \cos 5x \geq \frac{1}{2}$$

Используем тригонометрическую формулу:
Сначала вспомним, что произведение синуса и косинуса можно выразить через синус двойного угла:

$$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$$

Подставляем это в неравенство:

$$\frac{1}{2} \sin(10x) \geq \frac{1}{2}$$

Умножаем обе части на 2 (так как $\frac{1}{2}$ положительно, знак не изменится):

$$\sin(10x) \geq 1$$

Решаем уравнение:
Синус равен 1 при $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно:

$$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Решаем относительно $x$:
Делим обе части на 10:

$$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}$$

в)

Решаем неравенство:

$$\sin^2 3x — \cos^2 3x \leq -1$$

Используем формулу приведения:
Аналогично предыдущей части задачи, выражение $\sin^2 \theta — \cos^2 \theta$ можно преобразовать с помощью формулы для косинуса двойного угла:

$$\sin^2 \theta — \cos^2 \theta = -\cos(2\theta)$$

Подставляем это в неравенство:

$$-\cos(6x) \leq -1$$

Умножаем обе части на $-1$ (при этом знак неравенства меняется):

$$\cos(6x) \geq 1$$

Решаем уравнение:
Косинус равен 1 при $\alpha = 2\pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно:

$$6x = 2\pi n$$

Решаем относительно $x$:
Делим обе части на 6:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{3}}$$

г)

Решаем неравенство:

$$\sin \frac{2x}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} \leq -\frac{1}{2}$$

Используем формулу для произведения синуса и косинуса:
Так как $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$, подставляем это в неравенство:

$$\frac{1}{2} \sin \left(\frac{4x}{3}\right) \leq -\frac{1}{2}$$

Умножаем обе части на 2 (знак не меняется):

$$\sin \left(\frac{4x}{3}\right) \leq -1$$

Решаем уравнение:
Синус равен $-1$ при $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно:

$$\frac{4x}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Решаем относительно $x$:
Умножаем обе части на 3 и делим на 4:

$$x = \frac{3}{4} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}}$$