ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 3 — \sin x + \cos 2x$;

б) $y=\cos 2x+4\cos x-1$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 3 — \sin x + \cos 2x$;

$y = 3 — \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x);$

$y = 3 — \sin x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x;$

$y = -2 \sin^2 x — \sin x + 4;$

$y = -2t^2 — t + 4, \quad t \in [-1; 1];$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4};$

Значения функции:

$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 — (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3;$

$y\left(-\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 — \left(-\frac{1}{4}\right) + 4 = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + 4 = 4 \frac{1}{8};$

$y(1) = -2 \cdot 1^2 — 1 + 4 = -2 — 1 + 4 = 1;$

Ответ: $1; 4 \frac{1}{8}$

б) $y = \cos 2x + 4 \cos x — 1;$

$y = (\cos^2 x — \sin^2 x) + 4 \cos x — 1;$

$y = \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) + 4 \cos x — 1;$

$y = 2 \cos^2 x + 4 \cos x — 2;$

$y = 2t^2 + 4t — 2, \quad t \in [-1; 1];$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1;$

Значения функции:

$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 2 = 2 — 4 — 2 = -4;$

$y(1) = 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 — 2 = 2 + 4 — 2 = 4;$

Ответ: $-4; 4$.

а) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = 3 — \sin x + \cos 2x$$

Используем формулы для тригонометрических функций:
Чтобы упростить выражение, заменим $\cos 2x$ на его стандартное представление через $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, функция $y$ преобразуется в:

$$y = 3 — \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x)$$

Дальше упрощаем выражение:

$$y = 3 — \sin x + \cos^2 x — \sin^2 x$$

Используем тождество для $\cos^2 x$:
Мы знаем, что:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Подставим это в выражение:

$$y = 3 — \sin x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x$$

Упрощаем:

$$y = 3 — \sin x + 1 — 2\sin^2 x$$ $$y = 4 — \sin x — 2\sin^2 x$$

Преобразуем в квадратное уравнение:
Пусть $t = \sin x$, тогда:

$$y = 4 — t — 2t^2, \quad t \in [-1; 1]$$

Это квадратное уравнение, где $t$ — значение синуса, которое лежит в интервале $[-1; 1]$.

Находим экстремумы квадратичной функции:
Функция $y = -2t^2 — t + 4$ является параболой, открывающейся вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, найдем абсциссу вершины параболы.

Абсцисса вершины параболы для функции вида $y = at^2 + bt + c$ вычисляется по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставим значения $a = -2$ и $b = -1$:

$$t_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $t = -\frac{1}{4}$.

Вычисляем значения функции в критических точках:
Для $t = -\frac{1}{4}$ подставляем в выражение для $y$:

$$y\left(-\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 — \left(-\frac{1}{4}\right) + 4$$ $$y\left(-\frac{1}{4}\right) = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 4 = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + 4 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{32}{8} = 4 \frac{1}{8}$$

Вычисляем значения функции при $t = -1$ и $t = 1$:

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 — (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = -2 \cdot 1^2 — 1 + 4 = -2 — 1 + 4 = 1$$

Заключение:

• Наибольшее значение функции $y$ равно $4 \frac{1}{8}$.
• Наименьшее значение функции $y$ равно 1.

Ответ:

$$\boxed{1; 4 \frac{1}{8}}$$

б) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = \cos 2x + 4 \cos x — 1$$

Используем формулы для тригонометрических функций:
Подставим выражение для $\cos 2x$ через $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, функция $y$ преобразуется в:

$$y = (\cos^2 x — \sin^2 x) + 4 \cos x — 1$$ $$y = \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) + 4 \cos x — 1$$

Упрощаем выражение:

$$y = \cos^2 x — 1 + \cos^2 x + 4 \cos x — 1$$ $$y = 2 \cos^2 x + 4 \cos x — 2$$

Преобразуем в квадратное уравнение:
Пусть $t = \cos x$, тогда:

$$y = 2t^2 + 4t — 2, \quad t \in [-1; 1]$$

Это также квадратичная функция, где $t$ — значение косинуса, которое лежит в интервале $[-1; 1]$.

Находим экстремумы квадратичной функции:
Для функции вида $y = at^2 + bt + c$ абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставим $a = 2$ и $b = 4$:

$$t_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $t = -1$.

Вычисляем значения функции в критических точках:
Для $t = -1$:

$$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) — 2 = 2 — 4 — 2 = -4$$

Вычисляем значения функции при $t = 1$:
Для $t = 1$:

$$y(1) = 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 — 2 = 2 + 4 — 2 = 4$$

Заключение:

• Наибольшее значение функции $y$ равно 4.
• Наименьшее значение функции $y$ равно -4.

Ответ:

$$\boxed{-4; 4}$$

$$\boxed{1; 4 \frac{1}{8}} \quad \text{и} \quad \boxed{-4; 4}$$