ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\frac{2}{tgt+ctgt}$

б) $\frac{2}{tgt-ctgt}$

в) $(1-t{g}^{2}t)\cdot {\cos }^{2}t$

г) $(tgt+ctgt)\cdot \sin 2t$

а) $\frac{2}{tg t + ctg t} = \frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}} = 2 : \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} = \frac{2 \sin t \cdot \cos t}{1} = \sin 2t$;

Ответ: $\sin 2t$.

б) $\frac{2}{tg t — ctg t} = \frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} — \frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{2 tg t}{tg^2 t — 1} = -\frac{2 tg t}{1 — tg^2 t} = -tg 2t$;

Ответ: $-tg 2t$.

в) $(1 — tg^2 t) \cdot \cos^2 t = \left(1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) \cdot \cos^2 t = \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$;

Ответ: $\cos 2t$.

г) $(tg t + ctg t) \cdot \sin 2t = \left(\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}\right) \cdot 2 \sin t \cdot \cos t = 2 (\sin^2 t + \cos^2 t) = 2$;

Ответ: $2$.

а)

$$\frac{2}{\tan t + \cot t}$$

Шаг 1. Распишем $\tan t$ и $\cot t$ через синус и косинус:

$$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 3. Сложим дроби в знаменателе. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 4. Подставим в выражение:

$$\frac{2}{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}}$$

Шаг 5. Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Шаг 6. Получаем:

$$\frac{2}{\frac{1}{\sin t \cdot \cos t}} = 2 \cdot \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 7. Вспомним формулу:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$$

Ответ:

$$\boxed{\sin 2t}$$

б)

$$\frac{2}{\tan t — \cot t}$$

Шаг 1. Подставим определения:

$$\frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t} — \frac{\cos t}{\sin t}}$$

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\sin t}{\cos t} — \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\sin^2 t — \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}$$

Шаг 3. Тогда:

$$\frac{2}{\frac{\sin^2 t — \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t}} = 2 \cdot \frac{\sin t \cdot \cos t}{\sin^2 t — \cos^2 t}$$

Шаг 4. Перейдём к тангенсу:

$$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow \tan^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 5. Тогда:

$$\frac{2 \tan t}{\tan^2 t — 1}$$

Шаг 6. Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

$$— \frac{2 \tan t}{1 — \tan^2 t}$$

Шаг 7. Вспомним:

$$\tan 2t = \frac{2 \tan t}{1 — \tan^2 t} \Rightarrow -\tan 2t = — \frac{2 \tan t}{1 — \tan^2 t}$$

Ответ:

$$\boxed{-\tan 2t}$$

в)

$$(1 — \tan^2 t) \cdot \cos^2 t$$

Шаг 1. Заменим $\tan^2 t$ через $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$:

$$1 — \tan^2 t = 1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\left(1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) \cdot \cos^2 t$$

Шаг 3. Представим первую скобку как одну дробь:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 4. Умножим:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 5. Вспомним формулу:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 2t}$$

г)

$$(\tan t + \cot t) \cdot \sin 2t$$

Шаг 1. Подставим определения:

$$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad \sin 2t = 2 \sin t \cos t$$

Шаг 2. Запишем выражение:

$$\left( \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \right) \cdot 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3. Распределим умножение:

$$2 \sin t \cos t \cdot \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) + 2 \sin t \cos t \cdot \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right)$$

Шаг 4. Упростим:

• Первое слагаемое:

$$2 \sin t \cos t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} = 2 \sin^2 t$$

• Второе слагаемое:

$$2 \sin t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 2 \cos^2 t$$

Шаг 5. Складываем:

$$2 \sin^2 t + 2 \cos^2 t = 2 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 6. По тождеству:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Шаг 7. Получаем:

$$2 \cdot 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{2}$$