ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$;

б) $3+2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{10}$;

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$;

г) $2\sqrt{5}+3$ и $\sqrt{10}+\sqrt{19}$

Сравнить значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$;

Преобразуем второе число:

$$\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=\frac{(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}=\frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{49-16\cdot 3}=8\sqrt{3};$$$$8\sqrt{3}=\sqrt{64\cdot 3}=\sqrt{192};$$

Сравним данные числа:

$$\sqrt{192}=\sqrt{192};$$

Ответ: $\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$.

б) $3+2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{10}$;

Допустим, что верно неравенство:

$$3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10};$$$$(3+2\sqrt{2}{)}^2>(\sqrt{7}+\sqrt{10}{)}^2;$$$$9+12\sqrt{2}+8>7+2\sqrt{70}+10;$$$$12\sqrt{2}>2\sqrt{70};$$$$\sqrt{144\cdot 2}>\sqrt{4\cdot 70};$$$$\sqrt{288}>\sqrt{280}\text{— верно};$$

Ответ: $3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}$.

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$;

Преобразуем второе число:

$$\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}=\frac{(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)}=\frac{7+7}{25\cdot 2-49}=14;$$$$14=\sqrt{{14}^2}=\sqrt{196};$$

Сравним данные числа:

$$\sqrt{198}>\sqrt{196};$$

Ответ: $\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$.

г) $2\sqrt{5}+3$ и $\sqrt{10}+\sqrt{19}$;

Допустим, что верно неравенство:

$$2\sqrt{5}+3>\sqrt{10}+\sqrt{19};$$$$(2\sqrt{5}+3{)}^2>(\sqrt{10}+\sqrt{19}{)}^2;$$$$20+12\sqrt{5}+9>10+2\sqrt{190}+19;$$$$12\sqrt{5}>2\sqrt{190};$$$$\sqrt{144\cdot 5}>\sqrt{4\cdot 190};$$$$\sqrt{720}>\sqrt{760}\text{— неверно};$$

Ответ: $2\sqrt{5}+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}$.

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$

1) Преобразуем второе выражение:

Нам нужно упростить выражение $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$.

Шаг 1.1: Приведение к общему знаменателю.
Чтобы вычесть две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Мы умножаем числитель и знаменатель второй дроби на выражение, которое сделает знаменатель одинаковым для обеих дробей:

$$\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=\frac{(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}$$

Шаг 1.2: Упрощение числителя.
В числителе получаем:

$$(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})=7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$$

Шаг 1.3: Упрощение знаменателя.
Теперь вычислим знаменатель. Используем формулу разности квадратов:

$$(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})=7^2-(4\sqrt{3}{)}^2=49-16\cdot 3=49-48=1$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{8\sqrt{3}}{1}=8\sqrt{3}$$

2) Сравниваем с $\sqrt{192}$:

Мы получили, что $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$.

Теперь, преобразуем $8\sqrt{3}$ в вид с квадратным корнем:

$$8\sqrt{3}=\sqrt{64\cdot 3}=\sqrt{192}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt{192}=8\sqrt{3}$$

Ответ: $\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$.

б) $3+2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{10}$

1) Сравниваем выражения:

Допустим, что верно неравенство:

$$3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}$$

Для проверки возведем обе стороны неравенства в квадрат.

Шаг 1.1: Квадрат левой части.

$$(3+2\sqrt{2}{)}^2=3^2+2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2}{)}^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$$

Шаг 1.2: Квадрат правой части.

$$(\sqrt{7}+\sqrt{10}{)}^2=7+2\sqrt{7\cdot 10}+10=7+2\sqrt{70}+10=17+2\sqrt{70}$$

Таким образом, неравенство становится:

$$17+12\sqrt{2}>17+2\sqrt{70}$$

Шаг 1.3: Сравнение корней.
Теперь нам нужно сравнить $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$.

• $12\sqrt{2}$ можно вычислить как:$$12\sqrt{2}=\sqrt{144\cdot 2}=\sqrt{288}$$
• $2\sqrt{70}$ можно вычислить как:$$2\sqrt{70}=\sqrt{4\cdot 70}=\sqrt{280}$$

Так как $\sqrt{288}>\sqrt{280}$, то неравенство верно:

$$12\sqrt{2}>2\sqrt{70}$$

Ответ: $3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}$.

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$

1) Преобразуем второе выражение:

Нам нужно упростить выражение $\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$.

Шаг 1.1: Приведение к общему знаменателю.

$$\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}=\frac{(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)}=\frac{7+7}{(5\sqrt{2}{)}^2-7^2}$$

Шаг 1.2: Упрощение числителя.
В числителе получаем:

$$7+7=14$$

Шаг 1.3: Упрощение знаменателя.
Теперь вычислим знаменатель:

$$(5\sqrt{2}{)}^2-7^2=25\cdot 2-49=50-49=1$$

Теперь выражение становится:

$$\frac{14}{1}=14$$

2) Сравниваем с $\sqrt{198}$:

Теперь сравниваем $14$ с $\sqrt{198}$.

$14$ можно записать как $\sqrt{{14}^2}=\sqrt{196}$, и, так как $\sqrt{198}>\sqrt{196}$, получаем:

$$\sqrt{198}>14$$

Ответ: $\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$.

г) $2\sqrt{5}+3$ и $\sqrt{10}+\sqrt{19}$

1) Сравниваем выражения:

Допустим, что верно неравенство:

$$2\sqrt{5}+3>\sqrt{10}+\sqrt{19}$$

Для проверки возведем обе стороны неравенства в квадрат.

Шаг 1.1: Квадрат левой части.

$$(2\sqrt{5}+3{)}^2=(2\sqrt{5}{)}^2+2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 3+3^2=20+12\sqrt{5}+9=29+12\sqrt{5}$$

Шаг 1.2: Квадрат правой части.

$$(\sqrt{10}+\sqrt{19}{)}^2=10+2\sqrt{10\cdot 19}+19=10+2\sqrt{190}+19=29+2\sqrt{190}$$

Теперь неравенство принимает вид:

$$29+12\sqrt{5}>29+2\sqrt{190}$$

Шаг 1.3: Сравнение корней.
Теперь нам нужно сравнить $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$.

• $12\sqrt{5}$ можно вычислить как:$$12\sqrt{5}=\sqrt{144\cdot 5}=\sqrt{720}$$
• $2\sqrt{190}$ можно вычислить как:$$2\sqrt{190}=\sqrt{4\cdot 190}=\sqrt{760}$$

Так как $\sqrt{720}<\sqrt{760}$, то неравенство неверно:

$$12\sqrt{5}<2\sqrt{190}$$

Ответ: $2\sqrt{5}+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}$.

Итоговые ответы:

• а) $\sqrt{192}=\frac{1}{7-4\sqrt{3}}-\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$
• б) $3+2\sqrt{2}>\sqrt{7}+\sqrt{10}$
• в) $\sqrt{198}>\frac{1}{5\sqrt{2}-7}-\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$
• г) $2\sqrt{5}+3<\sqrt{10}+\sqrt{19}$