ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \operatorname{tg} 4a$;

б) $\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a$

Доказать тождество:

а) $\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \operatorname{tg} 4a$;

$$\frac{2 \sin \frac{2a + 6a}{2} \cdot \cos \frac{6a — 2a}{2}}{2 \cos \frac{2a + 6a}{2} \cdot \cos \frac{6a — 2a}{2}} = \operatorname{tg} 4a;$$ $$\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 2a}{2 \cos 4a \cdot \cos 2a} = \operatorname{tg} 4a;$$ $$\frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \operatorname{tg} 4a;$$ $$\operatorname{tg} 4a = \operatorname{tg} 4a;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a$;

$$\frac{-2 \sin \frac{2a + 4a}{2} \cdot \sin \frac{2a — 4a}{2}}{2 \cos \frac{2a + 4a}{2} \cdot \cos \frac{4a — 2a}{2}} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{-2 \sin 3a \cdot (-\sin a)}{2 \cos 3a \cdot \cos a} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{\sin 3a \cdot \sin a}{\cos 3a \cdot \cos a} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a;$$ $$\operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a;$$

Тождество доказано.

а)

Необходимо доказать тождество:

$$\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \operatorname{tg} 4a.$$

Шаг 1: Используем формулы приведения для суммы синусов и косинусов.

Для числителя и знаменателя можно использовать формулы для суммы синусов и косинусов. Напоминаем эти формулы:

• Сумма синусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x — y}{2}\right)$$

• Сумма косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Теперь применим их к числителю и знаменателю.

Числитель:

$$\sin 2a + \sin 6a = 2 \sin \left( \frac{2a + 6a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6a — 2a}{2} \right)$$

Упрощаем выражения:

$$\sin 2a + \sin 6a = 2 \sin (4a) \cdot \cos (2a)$$

Знаменатель:

$$\cos 2a + \cos 6a = 2 \cos \left( \frac{2a + 6a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6a — 2a}{2} \right)$$

Упрощаем выражения:

$$\cos 2a + \cos 6a = 2 \cos (4a) \cdot \cos (2a)$$

Шаг 2: Подставляем выражения в исходное тождество.

Подставляем найденные выражения для числителя и знаменателя в исходное тождество:

$$\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \frac{2 \sin (4a) \cdot \cos (2a)}{2 \cos (4a) \cdot \cos (2a)}$$

Теперь сокращаем на $2 \cdot \cos (2a)$ (при $\cos (2a) \neq 0$):

$$= \frac{\sin 4a}{\cos 4a}$$

По определению тангенса:

$$\frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \operatorname{tg} 4a$$

Таким образом, тождество доказано.

б)

Необходимо доказать тождество:

$$\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \operatorname{tg} 3a \cdot \operatorname{tg} a.$$

Шаг 1: Используем формулы для разности и суммы косинусов.

Для числителя и знаменателя используем формулы для разности и суммы косинусов:

• Разность косинусов:

$$\cos x — \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

• Сумма косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Числитель:

$$\cos 2a — \cos 4a = -2 \sin \left( \frac{2a + 4a}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{2a — 4a}{2} \right)$$

Упрощаем выражения:

$$\cos 2a — \cos 4a = -2 \sin (3a) \cdot \sin (a)$$

Знаменатель:

$$\cos 2a + \cos 4a = 2 \cos \left( \frac{2a + 4a}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{4a — 2a}{2} \right)$$

Упрощаем выражения:

$$\cos 2a + \cos 4a = 2 \cos (3a) \cdot \cos (a)$$

Шаг 2: Подставляем выражения в исходное тождество.

Подставляем найденные выражения для числителя и знаменателя в исходное тождество:

$$\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \frac{-2 \sin (3a) \cdot \sin (a)}{2 \cos (3a) \cdot \cos (a)}$$

Теперь сокращаем на $2$ (при $\cos (3a) \neq 0$ и $\cos (a) \neq 0$):

$$= \frac{\sin (3a) \cdot \sin (a)}{\cos (3a) \cdot \cos (a)}$$

По определению тангенса:

$$\frac{\sin (3a)}{\cos (3a)} = \operatorname{tg} (3a), \quad \frac{\sin (a)}{\cos (a)} = \operatorname{tg} (a)$$

Тогда:

$$\frac{\sin (3a) \cdot \sin (a)}{\cos (3a) \cdot \cos (a)} = \operatorname{tg} (3a) \cdot \operatorname{tg} (a)$$

Таким образом, тождество доказано.