ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\sin (a+\beta )+\sin (a-\beta )}{\cos (a+\beta )+\cos (a-\beta )}=\mathrm{tg}a;$$

б)

$$\frac{\cos (a-\beta )-\cos (a+\beta )}{\sin (a+\beta )-\sin (a-\beta )}=\mathrm{tg}a$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sin (a+\beta )+\sin (a-\beta )}{\cos (a+\beta )+\cos (a-\beta )}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{2\sin \frac{(a+\beta )+(a-\beta )}{2}\cdot \cos \frac{(a+\beta )-(a-\beta )}{2}}{2\cos \frac{(a+\beta )+(a-\beta )}{2}\cdot \cos \frac{(a+\beta )-(a-\beta )}{2}}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{2 \sin \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}}{2 \cos \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{2\sin a\cdot \cos \beta }{2\cos a\cdot \cos \beta }=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{2 \sin a \cdot \cos \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} a;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos (a-\beta )-\cos (a+\beta )}{\sin (a+\beta )-\sin (a-\beta )}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{-2\sin \frac{(a-\beta )+(a+\beta )}{2}\cdot \sin \frac{(a-\beta )-(a+\beta )}{2}}{2\sin \frac{(a+\beta )-(a-\beta )}{2}\cdot \cos \frac{(a+\beta )+(a-\beta )}{2}}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{-2 \sin \frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2} \cdot \sin \frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}}{2 \sin \frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2} \cdot \cos \frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{-2\sin a\cdot (-\sin \beta )}{2\sin \beta \cdot \cos a}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{-2 \sin a \cdot (-\sin \beta)}{2 \sin \beta \cdot \cos a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a;$$

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} a;$$

Тождество доказано.

а)

Нам нужно доказать следующее тождество:

$$\frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \operatorname{tg} a;$$

Шаг 1: Используем формулы сложения и вычитания для синусов и косинусов

Вначале применим формулы для суммы и разности синусов и косинусов:

• Формула для суммы синусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

• Формула для суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю:

Числитель:

$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2 \sin\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \sin a \cdot \cos \beta$$

Знаменатель:

$$\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = 2 \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cos\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 2: Подставляем выражения в исходное тождество

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

$$\frac{\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)}{\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)} = \frac{2 \sin a \cdot \cos \beta}{2 \cos a \cdot \cos \beta}$$

Шаг 3: Упростим выражение

Сократим на $2 \cos \beta$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{\sin a}{\cos a}$$

Таким образом, мы получаем:

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a$$

Тождество доказано.

б)

Теперь докажем следующее тождество:

$$\frac{\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \operatorname{tg} a;$$

Шаг 1: Используем формулы для разности косинусов и синусов

• Формула для разности косинусов:

$$\cos x — \cos y = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

• Формула для разности синусов:

$$\sin x — \sin y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю:

Числитель:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = -2 \sin\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \sin\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right)$$ $$= -2 \sin a \cdot (-\sin \beta) = 2 \sin a \cdot \sin \beta$$

Знаменатель:

$$\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = 2 \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \sin\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$ $$= 2 \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2: Подставляем выражения в исходное тождество

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

$$\frac{\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)}{\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)} = \frac{2 \sin a \cdot \sin \beta}{2 \cos a \cdot \sin \beta}$$

Шаг 3: Упростим выражение

Сократим на $2 \sin \beta$ в числителе и знаменателе:

$$= \frac{\sin a}{\cos a}$$

Таким образом, мы получаем:

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a$$

Тождество доказано.