ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\sin x+\sin y+\sin (x-y)=4\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x-y}{2};$$

б)

$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\mathrm{tg}2x$$

Доказать тождество:

а)

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2};$$ $$2 \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} + 2 \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = 2 \sin \frac{2x}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2};$$ $$2 \cos \frac{x-y}{2} \cdot \left( \sin \frac{x+y}{2} + \sin \frac{x-y}{2} \right) = 2 \sin x \cdot \cos \frac{x-y}{2};$$ $$2 \cos \frac{x-y}{2} \cdot 2 \sin \frac{(x+y)+(x-y)}{2 \cdot 2} \cdot \cos \frac{(x+y)-(x-y)}{2 \cdot 2} = 2 \sin x \cdot \cos \frac{x-y}{2};$$ $$4 \cos \frac{x-y}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{y}{2} = 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2};$$ $$\cos \frac{y}{2} = \cos \frac{x}{2};$$

Тождество не выполняется.

б)

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\frac{2 \sin \frac{x+3x}{2} \cdot \cos \frac{3x-x}{2} + \sin 2x}{2 \cos \frac{x+3x}{2} \cdot \cos \frac{3x-x}{2} + \cos 2x} = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x}{2 \cos 2x \cdot \cos x + \cos 2x} = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\frac{\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1)}{\cos 2x \cdot (2 \cos x + 1)} = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x;$$ $$\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 2x;$$

Тождество доказано.

а)

Требуется доказать тождество:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}$$

Для доказательства начнем с левой части уравнения.

Применим формулу суммы синусов для $\sin x + \sin y$:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right) + \sin(x — y)$$

Теперь, используя формулу для $\sin(x — y)$, можно выразить $\sin(x — y)$ как:

$$\sin(x — y) = 2 \sin \left( \frac{x — y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Подставим это в выражение:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right) + 2 \sin \left( \frac{x — y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Теперь выносим общий множитель $2 \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 2 \cos \left( \frac{x — y}{2} \right) \cdot \left( \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x — y}{2} \right) \right)$$

Используем формулу для суммы синусов для выражения $\sin \left( \frac{x + y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x — y}{2} \right)$:

$$\sin \left( \frac{x + y}{2} \right) + \sin \left( \frac{x — y}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{y}{2} \right)$$

Подставляем это в предыдущую формулу:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 2 \cos \left( \frac{x — y}{2} \right) \cdot 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{y}{2} \right)$$

Получаем:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$\sin x + \sin y + \sin(x — y) = 4 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

б)

Требуется доказать тождество:

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x$$

Начнем с числителя и применим формулы для суммы синусов:

$$\sin x + \sin 3x = 2 \sin \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right)$$ $$\sin x + \sin 3x = 2 \sin(2x) \cdot \cos(x)$$

Теперь добавим $\sin 2x$ из числителя:

$$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 2 \sin(2x) \cdot \cos(x) + \sin 2x$$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$:

$$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin 2x \cdot \left( 2 \cos x + 1 \right)$$

Теперь рассмотрим знаменатель $\cos x + \cos 2x + \cos 3x$.

Применим формулу для суммы косинусов:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right)$$ $$\cos x + \cos 3x = 2 \cos(2x) \cdot \cos(x)$$

Добавим $\cos 2x$ из знаменателя:

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 2 \cos(2x) \cdot \cos(x) + \cos 2x$$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$:

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x = \cos 2x \cdot \left( 2 \cos x + 1 \right)$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \frac{\sin 2x \cdot \left( 2 \cos x + 1 \right)}{\cos 2x \cdot \left( 2 \cos x + 1 \right)}$$

Упростим выражение, сокращая общий множитель $(2 \cos x + 1)$:

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x$$

Таким образом, мы доказали, что:

$$\frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \operatorname{tg} 2x$$