ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\cos {68}^{\circ }-\cos {22}^{\circ }}{\sin {68}^{\circ }-\sin {22}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\sin \frac{7\pi }{18}-\sin \frac{\pi }{9}}{\cos \frac{7\pi }{18}-\cos \frac{\pi }{9}}$$

в)

$$\frac{\sin {130}^{\circ }+\sin {110}^{\circ }}{\cos {130}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }}$$

г)

$$\frac{\sin \frac{5\pi }{18}+\sin \frac{11\pi }{9}}{\cos \frac{5\pi }{18}+\cos \frac{11\pi }{9}}$$

а)

$$\frac{\cos 68^\circ — \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ — \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin \frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \cdot \sin \frac{68^\circ — 22^\circ}{2}}{2 \sin \frac{68^\circ — 22^\circ}{2} \cdot \cos \frac{68^\circ + 22^\circ}{2}} = \frac{-2 \sin 45^\circ \cdot \sin 23^\circ}{2 \sin 23^\circ \cdot \cos 45^\circ} =$$ $$= -\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\frac{\sin \frac{7\pi}{18} — \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} — \cos \frac{\pi}{9}} = \frac{2 \sin \frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{\pi}{9}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{\pi}{9}}{2}}{-2 \sin \frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{\pi}{9}}{2} \cdot \sin \frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{\pi}{9}}{2}} = \frac{2 \sin \frac{5\pi}{36} \cdot \cos \frac{9\pi}{36}}{-2 \sin \frac{9\pi}{36} \cdot \sin \frac{5\pi}{36}} =$$ $$= -\frac{\cos \frac{9\pi}{36}}{\sin \frac{9\pi}{36}} = -\operatorname{ctg} \frac{9\pi}{36} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1;$$

Ответ: $-1$.

в)

$$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin \frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cdot \cos \frac{130^\circ — 110^\circ}{2}}{2 \cos \frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cdot \cos \frac{130^\circ — 110^\circ}{2}} =$$ $$= \frac{2 \sin 120^\circ \cdot \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cdot \cos 10^\circ} = \frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \operatorname{tg} 120^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ + 30^\circ) =$$ $$= -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3};$$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г)

$$\frac{\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9}}{\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9}} = \frac{2 \sin \frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{11\pi}{9}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{11\pi}{9} — \frac{5\pi}{18}}{2}}{2 \cos \frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{11\pi}{9}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{11\pi}{9} — \frac{5\pi}{18}}{2}} = \frac{2 \sin \frac{27\pi}{36} \cdot \cos \frac{17\pi}{36}}{2 \cos \frac{27\pi}{36} \cdot \cos \frac{17\pi}{36}} =$$ $$= \frac{\sin \frac{27\pi}{36}}{\cos \frac{27\pi}{36}} = \operatorname{tg} \frac{27\pi}{36} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1;$$

Ответ: $-1$.

а) Рассмотрим выражение:

$$\frac{\cos 68^\circ — \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ — \sin 22^\circ}$$

Для того чтобы упростить это выражение, применим тригонометрические формулы для разности косинусов и синусов:

Формула разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим эти формулы:

1. Применение формулы разности косинусов:

$$\cos 68^\circ — \cos 22^\circ = -2 \sin\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{68^\circ — 22^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)$$

2. Применение формулы разности синусов:

$$\sin 68^\circ — \sin 22^\circ = 2 \cdot \cos\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{68^\circ — 22^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{\cos 68^\circ — \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ — \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)}{2 \cos(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)}$$

Упростим дробь:

$$= \frac{-2 \sin(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)}{2 \cos(45^\circ) \cdot \sin(23^\circ)} = \frac{-\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}$$

Так как $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$\frac{-\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = -1$$

Ответ: $-1$.

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sin \frac{7\pi}{18} — \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} — \cos \frac{\pi}{9}}$$

Используем формулы разности синусов и косинусов:

Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим эти формулы:

1. Применение формулы разности синусов:

$$\sin \frac{7\pi}{18} — \sin \frac{\pi}{9} = 2 \cdot \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{\pi}{9}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{\pi}{9}}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{2\pi}{18}}{2}\right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{9\pi}{36}\right) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{36}\right)$$

2. Применение формулы разности косинусов:

$$\cos \frac{7\pi}{18} — \cos \frac{\pi}{9} = -2 \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{\pi}{9}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{\pi}{9}}{2}\right)$$ $$= -2 \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\frac{7\pi}{18} — \frac{2\pi}{18}}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{9\pi}{36}\right) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{36}\right)$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{\sin \frac{7\pi}{18} — \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} — \cos \frac{\pi}{9}} = \frac{2 \cdot \cos\left(\frac{9\pi}{36}\right) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{36}\right)}{-2 \cdot \sin\left(\frac{9\pi}{36}\right) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{36}\right)}$$

Упростим дробь:

$$= \frac{\cos\left(\frac{9\pi}{36}\right)}{-\sin\left(\frac{9\pi}{36}\right)} = -\frac{\cos\left(\frac{9\pi}{36}\right)}{\sin\left(\frac{9\pi}{36}\right)} = -\operatorname{ctg} \frac{9\pi}{36} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}$$

Так как $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$, то:

$$-1$$

Ответ: $-1$.

в) Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ}$$

Применяем формулы для суммы синусов и косинусов:

Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим эти формулы:

1. Применение формулы суммы синусов:

$$\sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \cdot \sin\left(\frac{130^\circ + 110^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{130^\circ — 110^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \sin(120^\circ) \cdot \cos(10^\circ)$$

2. Применение формулы суммы косинусов:

$$\cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cdot \cos\left(\frac{130^\circ + 110^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{130^\circ — 110^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos(120^\circ) \cdot \cos(10^\circ)$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \cdot \sin(120^\circ) \cdot \cos(10^\circ)}{2 \cdot \cos(120^\circ) \cdot \cos(10^\circ)}$$

Упростим дробь:

$$= \frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)} = \operatorname{tg}(120^\circ)$$

Используем тождество для угла $120^\circ$:

$$\operatorname{tg}(120^\circ) = \operatorname{tg}(90^\circ + 30^\circ) = -\operatorname{ctg}(30^\circ) = -\sqrt{3}$$

Ответ: $-\sqrt{3}$.

г) Рассмотрим выражение:

$$\frac{\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9}}{\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9}}$$

Применяем формулы для суммы синусов и косинусов:

Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим эти формулы:

1. Применение формулы суммы синусов:

$$\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9} = 2 \cdot \sin\left(\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{11\pi}{9}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\frac{11\pi}{9} — \frac{5\pi}{18}}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \sin\left(\frac{27\pi}{36}\right) \cdot \cos\left(\frac{17\pi}{36}\right)$$

2. Применение формулы суммы косинусов:

$$\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9} = 2 \cdot \cos\left(\frac{\frac{5\pi}{18} + \frac{11\pi}{9}}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\frac{11\pi}{9} — \frac{5\pi}{18}}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos\left(\frac{27\pi}{36}\right) \cdot \cos\left(\frac{17\pi}{36}\right)$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$\frac{\sin \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{11\pi}{9}}{\cos \frac{5\pi}{18} + \cos \frac{11\pi}{9}} = \frac{2 \cdot \sin\left(\frac{27\pi}{36}\right) \cdot \cos\left(\frac{17\pi}{36}\right)}{2 \cdot \cos\left(\frac{27\pi}{36}\right) \cdot \cos\left(\frac{17\pi}{36}\right)}$$

Упростим дробь:

$$= \frac{\sin\left(\frac{27\pi}{36}\right)}{\cos\left(\frac{27\pi}{36}\right)} = \operatorname{tg}\left(\frac{27\pi}{36}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$$

Используем тождество для угла $\frac{3\pi}{4}$:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

Ответ: $-1$.