ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}$$

б)

$$\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x-\sin 4x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x}$$

а)

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a + \sin 7a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a} = \frac{(\sin a + \sin 7a) + (\sin 3a + \sin 5a)}{(\cos a + \cos 7a) + (\cos 3a + \cos 5a)} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{a+7a}{2} \cdot \cos \frac{7a-a}{2} + 2 \sin \frac{3a+5a}{2} \cdot \cos \frac{5a-3a}{2}}{2 \cos \frac{a+7a}{2} \cdot \cos \frac{7a-a}{2} + 2 \cos \frac{3a+5a}{2} \cdot \cos \frac{5a-3a}{2}} =$$ $$= \frac{2 \sin 4a \cdot \cos 3a + 2 \sin 4a \cdot \cos a}{2 \cos 4a \cdot \cos 3a + 2 \cos 4a \cdot \cos a} = \frac{2 \sin 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)}{2 \cos 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)} = \operatorname{tg} 4a;$$

Если $\operatorname{ctg} 4a = 0,2$, тогда:

$$\operatorname{tg} 4a = \frac{1}{\operatorname{ctg} 4a} = \frac{1}{0,2} = \frac{10}{2} = 5;$$

Ответ: $5$.

б)

$$\frac{\sin x — \sin 2x + \sin 3x — \sin 4x}{\cos x — \cos 2x + \cos 3x — \cos 4x} = \frac{(\sin 3x — \sin 2x) — (\sin 4x — \sin x)}{(\cos 3x — \cos 2x) — (\cos 4x — \cos x)} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{3x-2x}{2} \cdot \cos \frac{3x+2x}{2} — 2 \sin \frac{4x-x}{2} \cdot \cos \frac{4x+x}{2}}{-2 \sin \frac{3x-2x}{2} \cdot \sin \frac{3x+2x}{2} — (-2) \cdot \sin \frac{4x-x}{2} \cdot \sin \frac{4x+x}{2}} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2} — 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{5x}{2}}{2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{5x}{2} — 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{5x}{2}} = \frac{2 \cos \frac{5x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \sin \frac{3x}{2} \right)}{-2 \sin \frac{5x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — \sin \frac{3x}{2} \right)} = -\operatorname{ctg} \frac{5x}{2};$$

Если $\operatorname{tg} \frac{5x}{4} = 2$, тогда:

$$-\operatorname{ctg} \frac{5x}{2} = -\frac{1}{\operatorname{tg} \left( 2 \cdot \frac{5x}{4} \right)} = -\frac{1}{\operatorname{tg}^2 \frac{5x}{4}} = -\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{5x}{4}}{2 \operatorname{tg} \frac{5x}{4}} = -\frac{1 — 2^2}{2 \cdot 2} = -\frac{4 — 1}{4} = \frac{3}{4};$$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

а) Нам нужно решить выражение:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a + \sin 7a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a}$$

1. Разбиение суммы на группы

Для начала, разобьем числитель и знаменатель на пары, чтобы упростить выражение с помощью известных тригонометрических формул:

$$\sin a + \sin 7a \quad \text{и} \quad \sin 3a + \sin 5a$$ $$\cos a + \cos 7a \quad \text{и} \quad \cos 3a + \cos 5a$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{(\sin a + \sin 7a) + (\sin 3a + \sin 5a)}{(\cos a + \cos 7a) + (\cos 3a + \cos 5a)}$$

2. Применение формул для суммы синусов и косинусов

Теперь применим формулы для суммы синусов и косинусов:

• Формула для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

• Формула для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Применим их к нашим суммам.

3. Упрощение числителя

Сначала рассмотрим пару синусов:

$$\sin a + \sin 7a = 2 \cdot \sin\left(\frac{a + 7a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{7a — a}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \sin(4a) \cdot \cos(3a)$$

Теперь рассмотрим вторую пару синусов:

$$\sin 3a + \sin 5a = 2 \cdot \sin\left(\frac{3a + 5a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5a — 3a}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \sin(4a) \cdot \cos(a)$$

Таким образом, числитель упрощается до:

$$2 \sin 4a \cdot \cos 3a + 2 \sin 4a \cdot \cos a$$ $$= 2 \sin 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)$$

4. Упрощение знаменателя

Сначала рассмотрим пару косинусов:

$$\cos a + \cos 7a = 2 \cdot \cos\left(\frac{a + 7a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{7a — a}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos(4a) \cdot \cos(3a)$$

Теперь рассмотрим вторую пару косинусов:

$$\cos 3a + \cos 5a = 2 \cdot \cos\left(\frac{3a + 5a}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{5a — 3a}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos(4a) \cdot \cos a$$

Таким образом, знаменатель упрощается до:

$$2 \cos 4a \cdot \cos 3a + 2 \cos 4a \cdot \cos a$$ $$= 2 \cos 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)$$

5. Подстановка в исходное выражение

Теперь мы можем подставить упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходное выражение:

$$\frac{2 \sin 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)}{2 \cos 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)}$$

Преобразуем это выражение, сокращая на $2 (\cos 3a + \cos a)$ (при условии, что $\cos 3a + \cos a \neq 0$):

$$= \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \operatorname{tg} 4a$$

6. Использование дополнительной информации

Если нам известно, что $\operatorname{ctg} 4a = 0,2$, то:

$$\operatorname{tg} 4a = \frac{1}{\operatorname{ctg} 4a} = \frac{1}{0,2} = 5$$

Ответ: $5$.

б) Нам нужно решить выражение:

$$\frac{\sin x — \sin 2x + \sin 3x — \sin 4x}{\cos x — \cos 2x + \cos 3x — \cos 4x}$$

1. Разбиение суммы на группы

Разделим числитель и знаменатель на пары:

$$\sin 3x — \sin 2x \quad \text{и} \quad \sin 4x — \sin x$$ $$\cos 3x — \cos 2x \quad \text{и} \quad \cos 4x — \cos x$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{(\sin 3x — \sin 2x) — (\sin 4x — \sin x)}{(\cos 3x — \cos 2x) — (\cos 4x — \cos x)}$$

2. Применение формул для разности синусов и косинусов

Теперь применим формулы для разности синусов и косинусов:

• Формула для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

• Формула для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

3. Упрощение числителя

Рассмотрим первую пару синусов:

$$\sin 3x — \sin 2x = 2 \cdot \cos\left(\frac{3x+2x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3x-2x}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

Рассмотрим вторую пару синусов:

$$\sin 4x — \sin x = 2 \cdot \cos\left(\frac{4x+x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{4x-x}{2}\right)$$ $$= 2 \cdot \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3x}{2}\right)$$

Таким образом, числитель упрощается до:

$$2 \cdot \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right)$$

4. Упрощение знаменателя

Рассмотрим первую пару косинусов:

$$\cos 3x — \cos 2x = -2 \cdot \sin\left(\frac{3x+2x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3x-2x}{2}\right)$$ $$= -2 \cdot \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right)$$

Рассмотрим вторую пару косинусов:

$$\cos 4x — \cos x = -2 \cdot \sin\left(\frac{4x+x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{4x-x}{2}\right)$$ $$= -2 \cdot \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{3x}{2}\right)$$

Таким образом, знаменатель упрощается до:

$$-2 \cdot \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right)$$

5. Подстановка в исходное выражение

Теперь мы можем подставить упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходное выражение:

$$\frac{2 \cdot \cos\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right)}{-2 \cdot \sin\left(\frac{5x}{2}\right) \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right)}$$

Сокращаем на $2 \left(\sin\left(\frac{x}{2}\right) — \sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right)$:

$$= -\frac{\cos\left(\frac{5x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{5x}{2}\right)} = -\operatorname{ctg} \frac{5x}{2}$$

6. Использование дополнительной информации

Если нам известно, что $\operatorname{tg} \frac{5x}{4} = 2$, то:

$$-\mathrm{ctg}\frac{5x}{2}=-\frac{1}{\mathrm{tg}(2\cdot \frac{5x}{4})}=-\frac{1}{{\mathrm{tg}}^2\frac{5x}{4}}=-\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{5x}{4}}{2\mathrm{tg}\frac{5x}{4}}=$$

$$-\operatorname{ctg} \frac{5x}{2} = -\frac{1}{\operatorname{tg} \left( 2 \cdot \frac{5x}{4} \right)} = -\frac{1}{\operatorname{tg}^2 \frac{5x}{4}} = -\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{5x}{4}}{2 \operatorname{tg} \frac{5x}{4}} = -\frac{1 — 2^2}{2 \cdot 2} = -\frac{4 — 1}{4} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $\frac{3}{4}$.