ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{130}^{\circ }+{\sin }^2{110}^{\circ }$

б) ${\cos }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{25}^{\circ }-{\cos }^2{5}^{\circ }$

а) $\sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ =$

$= \sin^2 10^\circ + \sin^2 (90^\circ + 40^\circ) + \sin^2 (90^\circ + 20^\circ) =$

$= \sin^2 10^\circ + \cos^2 40^\circ + \cos^2 20^\circ =$

$= \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 80^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} =$

$= \frac{3 — \cos 20^\circ + (\cos 80^\circ + \cos 40^\circ)}{2} =$

$= \frac{3 — \cos 20^\circ + 2 \cos \frac{80^\circ + 40^\circ}{2} \cdot \cos \frac{80^\circ — 40^\circ}{2}}{2} =$

$= \frac{3 — \cos 20^\circ + 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 20^\circ}{2} = \frac{3 — \cos 20^\circ + 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.$

Ответ: $1,5$.

б) $\cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ — \cos^2 5^\circ =$

$= \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} — \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} =$

$= \frac{1 — \cos 10^\circ + (\cos 70^\circ + \cos 50^\circ)}{2} =$

$= \frac{1 — \cos 10^\circ + 2 \cos \frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \cdot \cos \frac{70^\circ — 50^\circ}{2}}{2} =$

$= \frac{1 — \cos 10^\circ + 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 10^\circ}{2} = \frac{1 — \cos 10^\circ + 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10^\circ}{2} = \frac{1}{2} = 0,5.$

Ответ: $0,5$.

а)

Задача:

$$\sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ$$

Применение тригонометрических тождеств:
Используем основной тригонометрический факт, что для углов, отличных на $90^\circ$, синусы и косинусы взаимозаменяемы через преобразования:

$$\sin(90^\circ + x) = \cos x \quad \text{и} \quad \sin(90^\circ — x) = \cos x$$

Тогда, $\sin 130^\circ$ и $\sin 110^\circ$ можно преобразовать, используя эти тождества:

$$\sin 130^\circ = \cos (90^\circ — 40^\circ) = \cos 40^\circ$$ $$\sin 110^\circ = \cos (90^\circ — 20^\circ) = \cos 20^\circ$$

Таким образом, наша задача преобразуется в:

$$\sin^2 10^\circ + \cos^2 40^\circ + \cos^2 20^\circ$$

Использование тождества для синуса в квадрате:
Напоминаем, что $\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$. Однако в нашем случае это не нужно, так как у нас уже выражены косинусы. Мы воспользуемся известными преобразованиями для суммы косинусов.

Разбор каждого элемента в выражении:

Первое слагаемое $\sin^2 10^\circ$ можно выразить через косинус:

$$\sin^2 10^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2}$$

Аналогично для $\cos^2 40^\circ$ и $\cos^2 20^\circ$ мы можем использовать тождество $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

$$\cos^2 40^\circ = \frac{1 + \cos 80^\circ}{2}$$ $$\cos^2 20^\circ = \frac{1 + \cos 40^\circ}{2}$$

Суммирование всех выражений:
Теперь можем подставить все эти выражения в исходную задачу:

$$\sin^2 10^\circ + \cos^2 40^\circ + \cos^2 20^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 80^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 40^\circ}{2}$$

Приводим подобные:

$$= \frac{3 — \cos 20^\circ + \cos 80^\circ + \cos 40^\circ}{2}$$

Использование формулы для суммы косинусов:
Мы можем воспользоваться формулой для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для $\cos 80^\circ + \cos 40^\circ$ получаем:

$$\cos 80^\circ + \cos 40^\circ = 2 \cos \left( \frac{80^\circ + 40^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{80^\circ — 40^\circ}{2} \right) = 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ$$

Таким образом, у нас получится:

$$= \frac{3 — \cos 20^\circ + 2 \cos 60^\circ \cos 20^\circ}{2}$$

Упрощение выражения:
Заметим, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, следовательно:

$$= \frac{3 — \cos 20^\circ + 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ}{2}$$ $$= \frac{3 — \cos 20^\circ + \cos 20^\circ}{2}$$

Всё, что остается, это:

$$= \frac{3}{2} = 1,5$$

Ответ: $1,5$.

б)

Задача:

$$\cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ — \cos^2 5^\circ$$

Использование аналогичных преобразований:
Сначала применяем формулы для косинусов в квадрате:

$$\cos^2 35^\circ = \frac{1 + \cos 70^\circ}{2}$$ $$\cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos 50^\circ}{2}$$ $$\cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2}$$

Таким образом, наша задача превращается в:

$$\frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} — \frac{1 + \cos 10^\circ}{2}$$

Приведение подобных:
Собираем все слагаемые в одну дробь:

$$= \frac{1 — \cos 10^\circ + \cos 70^\circ + \cos 50^\circ}{2}$$

Использование формулы для суммы косинусов:
Применяем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для $\cos 70^\circ + \cos 50^\circ$ получаем:

$$\cos 70^\circ + \cos 50^\circ = 2 \cos \left( \frac{70^\circ + 50^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{70^\circ — 50^\circ}{2} \right) = 2 \cos 60^\circ \cos 10^\circ$$

Таким образом, мы получаем:

$$= \frac{1 — \cos 10^\circ + 2 \cos 60^\circ \cos 10^\circ}{2}$$

Упрощение выражения:
Замечаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, и подставляем это в выражение:

$$= \frac{1 — \cos 10^\circ + 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10^\circ}{2}$$ $$= \frac{1 — \cos 10^\circ + \cos 10^\circ}{2}$$

Всё, что остается, это:

$$= \frac{1}{2} = 0,5$$

Ответ: $0,5$.