ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\sin 2x + \sin 2y = a$, $\cos 2x + \cos 2y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$), вычислите $\operatorname{tg}(x + y)$;

б) Зная, что $\sin x — \sin y = a$, $\cos x — \cos y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$), вычислите $\operatorname{ctg}\frac{x + y}{2}$.

а) Известно, что $\sin 2x + \sin 2y = a$ и $\cos 2x + \cos 2y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$);

Из первого равенства:

$$\sin 2x + \sin 2y = a;$$ $$2 \sin \frac{2x + 2y}{2} \cdot \cos \frac{2x — 2y}{2} = a;$$ $$\sin(x + y) \cdot \cos(x — y) = \frac{a}{2};$$

Из второго равенства:

$$\cos 2x + \cos 2y = b;$$ $$2 \cos \frac{2x + 2y}{2} \cdot \cos \frac{2x — 2y}{2} = b;$$ $$\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = \frac{b}{2};$$

Искомое выражение:

$$\frac{\sin(x + y) \cdot \cos(x — y)}{\cos(x + y) \cdot \cos(x — y)} = \frac{a}{2} : \frac{b}{2};$$ $$\frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{b};$$ $$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{a}{b}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{a}{b}}$.

б) Известно, что $\sin x — \sin y = a$ и $\cos x — \cos y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$);

Из первого равенства:

$$\sin x — \sin y = a;$$ $$2 \sin \frac{x — y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2} = a;$$

Из второго равенства:

$$\cos x — \cos y = b;$$ $$-2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2} = b;$$

Искомое выражение:

$$\frac{2 \sin \frac{x — y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2}}{-2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2}} = \frac{a}{b};$$ $$-\frac{\cos \frac{x + y}{2}}{\sin \frac{x + y}{2}} = \frac{a}{b};$$ $$\operatorname{ctg} \frac{x + y}{2} = -\frac{a}{b}.$$

Ответ: $\boxed{-\frac{a}{b}}$.

а) Известно, что $\sin 2x + \sin 2y = a$ и $\cos 2x + \cos 2y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$)

Нам нужно выразить отношение $\operatorname{tg}(x + y)$ через $a$ и $b$.

Шаг 1: Преобразуем первое равенство $\sin 2x + \sin 2y = a$

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применяем ее к выражению $\sin 2x + \sin 2y$:

$$\sin 2x + \sin 2y = 2 \sin\left(\frac{2x + 2y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2x — 2y}{2}\right)$$ $$\sin 2x + \sin 2y = 2 \sin(x + y) \cdot \cos(x — y)$$

Теперь подставим это в исходное равенство:

$$2 \sin(x + y) \cdot \cos(x — y) = a$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin(x + y) \cdot \cos(x — y) = \frac{a}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем второе равенство $\cos 2x + \cos 2y = b$

Теперь используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим ее к выражению $\cos 2x + \cos 2y$:

$$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos\left(\frac{2x + 2y}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2x — 2y}{2}\right)$$ $$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos(x + y) \cdot \cos(x — y)$$

Теперь подставим это в исходное равенство:

$$2 \cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = b$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = \frac{b}{2}$$

Шаг 3: Искомое выражение

Теперь нам нужно найти выражение для $\operatorname{tg}(x + y)$. Для этого разделим первое равенство (из пункта 1) на второе равенство (из пункта 2):

$$\frac{\sin(x + y) \cdot \cos(x — y)}{\cos(x + y) \cdot \cos(x — y)} = \frac{a}{2} : \frac{b}{2}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} = \frac{a}{b}$$

Теперь, по определению тангенса:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{a}{b}$$

Ответ: $\boxed{\frac{a}{b}}$.

б) Известно, что $\sin x — \sin y = a$ и $\cos x — \cos y = b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0$)

Нам нужно выразить отношение $\operatorname{ctg} \frac{x + y}{2}$ через $a$ и $b$.

Шаг 1: Преобразуем первое равенство $\sin x — \sin y = a$

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применяем ее к выражению $\sin x — \sin y$:

$$\sin x — \sin y = 2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Теперь подставим это в исходное равенство:

$$2 \cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) = a$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) = \frac{a}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем второе равенство $\cos x — \cos y = b$

Теперь используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применяем ее к выражению $\cos x — \cos y$:

$$\cos x — \cos y = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)$$

Теперь подставим это в исходное равенство:

$$-2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) = b$$

Разделим обе части на -2:

$$\sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right) = -\frac{b}{2}$$

Шаг 3: Искомое выражение

Теперь нам нужно найти выражение для $\operatorname{ctg} \frac{x + y}{2}$. Для этого разделим первое равенство (из пункта 1) на второе равенство (из пункта 2):

$$\frac{\cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{x — y}{2}\right)} = \frac{a}{-b}$$

Преобразуем:

$$\frac{\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x + y}{2}\right)} = -\frac{a}{b}$$

Теперь, по определению котангенса:

$$\operatorname{ctg} \frac{x + y}{2} = -\frac{a}{b}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{a}{b}}$.