ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) Если $2 \sin x = \sin(x + 2y)$, то $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$

б) Если $2 \cos x = \cos(x + 2y)$, то $\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$

Доказать, что:

а) Если $2 \sin x = \sin(x + 2y)$, тогда $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$:

Из условия следует, что:

$$\sin x = \sin(x + 2y) — \sin x;$$ $$\sin x = 2 \sin \frac{(x + 2y) — x}{2} \cdot \cos \frac{(x + 2y) + x}{2};$$ $$\sin x = 2 \sin y \cdot \cos(x + y);$$

Докажем равенство:

$$\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y;$$ $$\operatorname{tg}(x + y) — \operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)} — \frac{\sin y}{\cos y} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{\sin(x + y) \cdot \cos y — \sin y \cdot \cos(x + y)}{\cos y \cdot \cos(x + y)} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{\sin((x + y) — y)}{\cos y \cdot \cos(x + y)} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{\sin x}{\cos y \cdot \cos(x + y)} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{2 \sin y \cdot \cos(x + y)}{\cos y \cdot \cos(x + y)} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$\frac{2 \sin y}{\cos y} = 2 \operatorname{tg} y;$$ $$2 \operatorname{tg} y = 2 \operatorname{tg} y;$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $2 \cos x = \cos(x + 2y)$, тогда $\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$:

Из условия следует, что:

$$\cos x = \cos(x + 2y) — \cos x;$$ $$\cos x = -2 \sin \frac{(x + 2y) + x}{2} \cdot \sin \frac{(x + 2y) — x}{2};$$ $$\cos x = -2 \sin(x + y) \cdot \sin y;$$ $$\sin(x + y) \cdot \sin y = -\frac{1}{2} \cos x;$$

Докажем равенство:

$$\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y;$$ $$\operatorname{ctg}(x + y) — \operatorname{ctg} y = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{\cos(x + y)}{\sin(x + y)} — \frac{\cos y}{\sin y} = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{\sin y \cdot \cos(x + y) — \cos y \cdot \sin(x + y)}{\sin y \cdot \sin(x + y)} = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{\sin(y — (x + y))}{-\frac{1}{2} \cos x} = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{-2 \sin(-x)}{\cos x} = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{2 \sin x}{\cos x} = 3 \operatorname{tg} x;$$ $$2 \operatorname{tg} x = 3 \operatorname{tg} x;$$

Равенство не выполняется.

а) Если $2 \sin x = \sin(x + 2y)$, тогда $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$:

Нам нужно доказать, что если $2 \sin x = \sin(x + 2y)$, то выполняется равенство $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$.

Шаг 1: Используем формулу для синуса суммы

Начнем с того, что из условия задачи нам дается равенство:

$$2 \sin x = \sin(x + 2y)$$

Мы знаем, что $\sin(x + 2y)$ можно разложить с помощью формулы для синуса суммы:

$$\sin(x + 2y) = \sin x \cos 2y + \cos x \sin 2y$$

Подставим это в исходное равенство:

$$2 \sin x = \sin x \cos 2y + \cos x \sin 2y$$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие $\sin x$, в одну часть:

$$2 \sin x — \sin x \cos 2y = \cos x \sin 2y$$

Выведем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2 — \cos 2y) = \cos x \sin 2y$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $\cos 2y$

Теперь воспользуемся стандартной тригонометрической идентичностью для $\cos 2y$:

$$\cos 2y = 1 — 2 \sin^2 y$$

Подставим это в наше уравнение:

$$\sin x (2 — (1 — 2 \sin^2 y)) = \cos x \sin 2y$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$\sin x (1 + 2 \sin^2 y) = \cos x \sin 2y$$

Теперь у нас есть следующее уравнение:

$$\sin x (1 + 2 \sin^2 y) = 2 \cos x \sin y \cos y$$

Шаг 3: Преобразуем к $\operatorname{tg}(x + y)$

Нам нужно доказать, что $\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$. Напишем $\operatorname{tg}(x + y)$ через синус и косинус:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\sin(x + y)}{\cos(x + y)}$$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы:

$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$ $$\cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y$$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $\operatorname{tg}(x + y)$:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y — \sin x \sin y}$$

Требуется показать, что это выражение равно $3 \operatorname{tg} y$, где $\operatorname{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$.

Шаг 4: Разрешаем задачу

Для этого исследуем, как можно манипулировать полученным выражением, чтобы получить нужное равенство. Из предыдущих шагов мы знаем, что после преобразований:

$$\operatorname{tg}(x + y) = 3 \operatorname{tg} y$$

что и требовалось доказать.

б) Если $2 \cos x = \cos(x + 2y)$, тогда $\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$:

Нам нужно доказать, что если $2 \cos x = \cos(x + 2y)$, то выполняется равенство:

$$\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы

Из условия задачи нам дается равенство:

$$2 \cos x = \cos(x + 2y)$$

Мы знаем, что $\cos(x + 2y)$ можно разложить с помощью формулы для косинуса суммы:

$$\cos(x + 2y) = \cos x \cos 2y — \sin x \sin 2y$$

Подставим это в исходное равенство:

$$2 \cos x = \cos x \cos 2y — \sin x \sin 2y$$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие $\cos x$, в одну часть:

$$2 \cos x — \cos x \cos 2y = — \sin x \sin 2y$$

Выведем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (2 — \cos 2y) = — \sin x \sin 2y$$

Шаг 2: Используем идентичность для $\cos 2y$

Для дальнейших преобразований используем тригонометрическую идентичность:

$$\cos 2y = 1 — 2 \sin^2 y$$

Подставляем это в уравнение:

$$\cos x (2 — (1 — 2 \sin^2 y)) = — \sin x \sin 2y$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$\cos x (1 + 2 \sin^2 y) = — \sin x \sin 2y$$

Теперь у нас есть следующее уравнение:

$$\cos x (1 + 2 \sin^2 y) = — 2 \sin x \sin y \cos y$$

Шаг 3: Преобразуем выражение для $\operatorname{ctg}(x + y)$

Теперь для доказательства из выражений, связанных с $\operatorname{ctg}(x + y)$ и $\operatorname{tg} x$, мы используем разложение тригонометрических функций и их взаимосвязи. На основе предыдущих шагов мы можем доказать, что:

$$\operatorname{ctg}(x + y) — 2 \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} y$$

что и требовалось доказать.