ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) Если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то $\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1$

б) Если $\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \cdot \sin y \cdot \cos(x + y) = \frac{1 — m}{2}$

Доказать, что:

а) Если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, тогда $\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1$;

Преобразуем заданное равенство:

$$2\cos^2 x + 2\cos^2 y = 2m;$$ $$(1 + \cos 2x) + (1 + \cos 2y) = 2m;$$ $$2 + \cos 2x + \cos 2y = 2m;$$ $$2\cos \frac{2x + 2y}{2} \cdot \cos \frac{2x — 2y}{2} = 2m — 2;$$ $$\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1;$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то $\sin x \cdot \sin y \cdot \cos(x + y) = \frac{1 — m}{2}$;

Преобразуем заданное равенство:

$$2\cos^2(x + y) + 2\sin^2 x + 2\sin^2 y = 2m;$$ $$2\cos^2(x + y) + (1 — \cos 2x) + (1 — \cos 2y) = 2m;$$ $$2\cos^2(x + y) + 2 — (\cos 2x + \cos 2y) = 2m;$$ $$2\cos^2(x + y) — 2\cos \frac{2x + 2y}{2} \cdot \cos \frac{2x — 2y}{2} = 2m — 2;$$ $$\cos^2(x + y) — \cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1;$$ $$\cos(x + y) \cdot (\cos(x + y) — \cos(x — y)) = m — 1;$$ $$\cos(x + y) \cdot \left( -2 \sin \frac{(x + y) + (x — y)}{2} \cdot \sin \frac{(x + y) — (x — y)}{2} \right) = m — 1;$$ $$\cos(x + y) \cdot \sin x \cdot \sin y = \frac{1 — m}{2};$$

Что и требовалось доказать.

а) Если $\cos^2 x + \cos^2 y = m$, то докажем, что $\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1$.

Дано:

$$\cos^2 x + \cos^2 y = m.$$

Цель: Доказать, что:

$$\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1.$$

Шаг 1: Начнем с преобразования исходного равенства

Из условия задачи:

$$\cos^2 x + \cos^2 y = m.$$

Умножим обе стороны на 2:

$$2 \cos^2 x + 2 \cos^2 y = 2m.$$

Теперь выразим $\cos^2 x$ и $\cos^2 y$ через $1 + \cos 2x$ и $1 + \cos 2y$, используя тригонометрические идентичности:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 y = \frac{1 + \cos 2y}{2}.$$

Подставим эти выражения в уравнение:

$$2 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 2 \left( \frac{1 + \cos 2y}{2} \right) = 2m.$$

Упростим:

$$(1 + \cos 2x) + (1 + \cos 2y) = 2m.$$

Преобразуем:

$$2 + \cos 2x + \cos 2y = 2m.$$

Теперь вынесем все константы в одну сторону:

$$\cos 2x + \cos 2y = 2m — 2.$$

Шаг 2: Применим формулу для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Применим её к выражению $\cos 2x + \cos 2y$:

$$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right).$$

Подставим это в уравнение:

$$2 \cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right) = 2m — 2.$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right) = m — 1.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Преобразуем:

$$\cos(x + y) \cdot \cos(x — y) = m — 1.$$

Это и есть требуемое равенство.

Что и требовалось доказать.

б) Если $\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m$, то докажем, что $\sin x \cdot \sin y \cdot \cos(x + y) = \frac{1 — m}{2}$.

Дано:

$$\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m.$$

Цель: Доказать, что:

$$\sin x \cdot \sin y \cdot \cos(x + y) = \frac{1 — m}{2}.$$

Шаг 1: Начнем с преобразования исходного равенства

Из условия задачи:

$$\cos^2(x + y) + \sin^2 x + \sin^2 y = m.$$

Умножим обе части на 2:

$$2 \cos^2(x + y) + 2 \sin^2 x + 2 \sin^2 y = 2m.$$

Теперь применим тригонометрические идентичности:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}, \quad \sin^2 y = \frac{1 — \cos 2y}{2}.$$

Подставим эти выражения в уравнение:

$$2 \cos^2(x + y) + \left(1 — \cos 2x\right) + \left(1 — \cos 2y\right) = 2m.$$

Преобразуем:

$$2 \cos^2(x + y) + 2 — (\cos 2x + \cos 2y) = 2m.$$

Теперь упростим:

$$2 \cos^2(x + y) — (\cos 2x + \cos 2y) = 2m — 2.$$

Шаг 2: Применим формулу для суммы косинусов

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Применим её к выражению $\cos 2x + \cos 2y$:

$$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right).$$

Подставим это в уравнение:

$$2 \cos^2(x + y) — 2 \cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right) = 2m — 2.$$

Разделим обе части на 2:

$$\cos^2(x + y) — \cos \left( \frac{2x + 2y}{2} \right) \cos \left( \frac{2x — 2y}{2} \right) = m — 1.$$

Шаг 3: Разложим и упростим

Преобразуем:

$$\cos(x + y) \cdot (\cos(x + y) — \cos(x — y)) = m — 1.$$

Далее используем тригонометрическую формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Применим её к выражению $\cos(x + y) — \cos(x — y)$:

$$\cos(x + y) \cdot \left( -2 \sin \left( \frac{(x + y) + (x — y)}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{(x + y) — (x — y)}{2} \right) \right) = m — 1.$$

Упростим:

$$\cos(x + y) \cdot \left( -2 \sin x \cdot \sin y \right) = m — 1.$$

Разделим обе части на $-2$:

$$\cos(x + y) \cdot \sin x \cdot \sin y = \frac{1 — m}{2}.$$

Что и требовалось доказать.