ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) sinх + sin2х + sinЗх = 0;

б) cos3x — cos5х = sin4х.

a) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$;

$$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0;$$ $$2 \sin \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} + \sin 2x = 0;$$ $$2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x = 0;$$ $$\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$.

б) $\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$;

$$-2 \sin \frac{3x — 5x}{2} \cdot \sin \frac{3x + 5x}{2} — \sin 4x = 0;$$ $$-2 \cdot (-\sin x) \cdot \sin 4x — \sin 4x = 0;$$ $$\sin 4x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x = 1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{4}; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$.

а) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение

Начнем с того, что можем сгруппировать слагаемые, чтобы упростить выражение:

$$\sin x + \sin 3x + \sin 2x = 0.$$

Теперь сгруппируем $\sin x$ и $\sin 3x$, получив:

$$(\sin x + \sin 3x) + \sin 2x = 0.$$

Далее используем формулы для преобразования суммы синусов:

$$\sin x + \sin 3x = 2 \sin \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right).$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$2 \sin \left( \frac{4x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x}{2} \right) + \sin 2x = 0.$$

Это преобразуется в:

$$2 \sin 2x \cdot \cos x + \sin 2x = 0.$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

Теперь заметим, что в обоих слагаемых присутствует множитель $\sin 2x$, поэтому можем вынести его за скобки:

$$\sin 2x \cdot (2 \cos x + 1) = 0.$$

Таким образом, мы получаем два уравнения для решения.

Шаг 3: Решаем первое уравнение

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$2x = \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)},$$ $$x = \frac{\pi n}{2}.$$

Это решение для $x$, которое зависит от целого числа $n$.

Шаг 4: Решаем второе уравнение

Второе уравнение:

$$2 \cos x + 1 = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$2 \cos x = -1,$$ $$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Теперь решим $\cos x = -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\cos x = -\frac{1}{2}$ при:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ для части а)

Таким образом, окончательное решение для части а):

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$.

б) $\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$.

Шаг 1: Используем формулы для разности косинусов

Начнем с того, что у нас есть выражение для разности косинусов. Используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right).$$

Подставим $A = 3x$ и $B = 5x$ в эту формулу:

$$\cos 3x — \cos 5x = -2 \sin \left( \frac{3x — 5x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x + 5x}{2} \right),$$

что даёт:

$$\cos 3x — \cos 5x = -2 \sin \left( \frac{-2x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{8x}{2} \right).$$

Упрощаем:

$$\cos 3x — \cos 5x = -2 \cdot (-\sin x) \cdot \sin 4x = 2 \sin x \cdot \sin 4x.$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin x \cdot \sin 4x — \sin 4x = 0.$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

В обоих слагаемых присутствует $\sin 4x$, вынесем его за скобки:

$$\sin 4x \cdot (2 \sin x — 1) = 0.$$

Шаг 3: Решаем первое уравнение

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$4x = \pi n \quad \text{(где \(n\) — целое число)},$$ $$x = \frac{\pi n}{4}.$$

Шаг 4: Решаем второе уравнение

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$2 \sin x = 1,$$ $$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Знаем, что $\sin x = \frac{1}{2}$ при:

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n.$$

Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ для части б)

Таким образом, окончательное решение для части б):

$$x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi n}{4}; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$.

Итоговый ответ:

Для части а): $\boxed{\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$.

Для части б): $\boxed{\frac{\pi n}{4}; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$.