ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 3x=\cos 2x;$$

б)

$$\sin (5\pi -x)=\cos (2x+7\pi );$$

в)

$$\cos 5x=\sin 15x;$$

г)

$$\sin (7\pi +x)=\cos (9\pi +2x)$$

а)

$$\sin 3x = \cos 2x;$$ $$\sin 3x — \cos 2x = 0;$$ $$\sin 3x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{3x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \cdot \cos \frac{3x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi (5k+1)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}}$$

б)

$$\sin (5\pi — x) = \cos (2x + 7\pi);$$ $$\sin x = -\cos 2x;$$ $$\sin x + \cos 2x = 0;$$ $$\sin x + \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \cdot \cos \frac{x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = 0;$$ $$-\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{3x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}}$$

в)

$$\cos 5x = \sin 15x;$$ $$\sin 15x — \cos 5x = 0;$$ $$\sin 15x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{15x — \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)}{2} \cdot \cos \frac{15x + \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( 10x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( 10x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$10x — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$10x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$5x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}$$

г)

$$\sin (7\pi + x) = \cos (9\pi + 2x);$$ $$-\sin x = -\cos 2x;$$ $$\sin x — \cos 2x = 0;$$ $$\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0;$$ $$2 \sin \frac{x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \cdot \cos \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi (3k+2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

а) Решим уравнение:

$$\sin 3x = \cos 2x.$$

Первоначальная запись:

$$\sin 3x — \cos 2x = 0.$$

Применение тождества для косинуса через синус:

Используем тождество:

$$\cos \theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right).$$

Подставим его в уравнение:

$$\sin 3x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0.$$

Используем формулу для разности синусов:

Согласно формуле для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right),$$

где $A = 3x$ и $B = \frac{\pi}{2} — 2x$, получаем:

$$2 \sin \left( \frac{3x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \right) = 0.$$

Упростим выражения внутри синуса и косинуса:

Для синуса:

$$\frac{3x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = \frac{3x — \frac{\pi}{2} + 2x}{2} = \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}.$$

Для косинуса:

$$\frac{3x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = \frac{3x + \frac{\pi}{2} — 2x}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решим два уравнения:

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение для синуса:

$$\sin \alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $\alpha = \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}$:

$$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n.$$

Решим относительно $x$:

$$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Умножим обе части на 2:

$$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Разделим обе части на 5:

$$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}.$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение для косинуса:

$$\cos \alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $\alpha = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решим относительно $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Умножим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Теперь сравним результаты:
Решения $x_1$ из первого уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5},$$

и $x_2$ из второго уравнения:

$$x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Сравнив эти решения, мы видим, что они совпадают при $n = 5k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$, то есть:

$$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi (5k+1)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}}.$$

б) Решим уравнение:

$$\sin (5\pi — x) = \cos (2x + 7\pi).$$

Применение свойств тригонометрических функций:

Используем свойство:

$$\sin (A — B) = \sin A \cos B — \cos A \sin B.$$

Тогда:

$$\sin (5\pi — x) = \sin 5\pi \cos x — \cos 5\pi \sin x.$$

Поскольку $\sin 5\pi = 0$ и $\cos 5\pi = -1$, у нас получается:

$$\sin (5\pi — x) = -\sin x.$$

Аналогично для косинуса:

$$\cos (2x + 7\pi) = \cos (2x + \pi) = -\cos 2x.$$

Таким образом, уравнение превращается в:

$$-\sin x = -\cos 2x \quad \Rightarrow \quad \sin x = \cos 2x.$$

Решаем аналогично предыдущему примеру:

$$\sin x + \cos 2x = 0.$$

Применение тождества для синуса:

$$\sin x + \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0.$$

Применяем формулу для разности синусов:

$$2 \sin \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \cdot \cos \frac{x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = 0.$$

Получаем:

$$-\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решаем два уравнения:

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение для синуса:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение для косинуса:

$$\frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}}.$$

в) Решим уравнение:

$$\cos 5x = \sin 15x.$$

Переписываем уравнение:

$$\sin 15x — \cos 5x = 0.$$

Используем тождество:

$$\sin 15x = \sin \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right).$$

Таким образом, получаем:

$$2 \sin \frac{15x — \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)}{2} \cdot \cos \frac{15x + \left( \frac{\pi}{2} — 5x \right)}{2} = 0.$$

Упрощаем:

$$\sin \left( 10x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решаем два уравнения:

Первое уравнение:

$$\sin \left( 10x — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение:

$$10x — \frac{\pi}{4} = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}.$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 5x + \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решение:

$$5x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{40} + \frac{\pi n}{10}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}.$$

г) Решим уравнение:

$$\sin (7\pi + x) = \cos (9\pi + 2x).$$

Используем тождества:

$$\sin (7\pi + x) = -\sin x \quad \text{и} \quad \cos (9\pi + 2x) = -\cos 2x.$$

Тогда:

$$-\sin x = -\cos 2x \quad \Rightarrow \quad \sin x = \cos 2x.$$

Решение аналогично предыдущим:

$$\sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0.$$

Применяем формулу для разности синусов:

$$2 \sin \frac{x — \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} \cdot \cos \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right)}{2} = 0.$$

Получаем:

$$\sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0.$$

Решаем два уравнения:

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}.$$