ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) 1 + cos 6x = 2 sin² 5x;

б) cos² 2x = cos² 4x;

в) sin² $\frac{x}{2}$ = cos² $\frac{7x}{2}$;

г) sin² x + sin² 3x = 1

а) 1 + cos 6x = 2 sin² 5x;
1 + cos 6x = 1 — cos 10x;
cos 6x + cos 10x = 0;
2 cos $\frac{6x + 10x}{2}$ · cos $\frac{10x — 6x}{2}$ = 0;
cos 8x · cos 2x = 0;

Первое уравнение:
cos 8x = 0;
8x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$;

Второе уравнение:
cos 2x = 0;
2x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$; $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

б) cos² 2x = cos² 4x;

$\frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2}$;
cos 4x = cos 8x;
cos 8x — cos 4x = 0;
-2 sin $\frac{8x + 4x}{2}$ · sin $\frac{8x — 4x}{2}$ = 0;
sin 6x · sin 2x = 0;

Первое уравнение:
sin 6x = 0;
6x = πn;
x = $\frac{\pi n}{6}$;

Второе уравнение:
sin 2x = 0;
2x = πn;
x = $\frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{6}$.

в) sin² $\frac{x}{2}$ = cos² $\frac{7x}{2}$;

$\frac{1 — \cos x}{2} = \frac{1 + \cos 7x}{2}$;
-cos x = cos 7x;
cos 7x + cos x = 0;
2 cos $\frac{7x + x}{2}$ · cos $\frac{7x — x}{2}$ = 0;
cos 4x · cos 3x = 0;

Первое уравнение:
cos 4x = 0;
4x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
cos 3x = 0;
3x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$; $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

г) sin² x + sin² 3x = 1;

$\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 6x}{2} = 1$;
1 — cos 2x + 1 — cos 6x = 2;
cos 6x + cos 2x = 0;
2 cos $\frac{6x + 2x}{2}$ · cos $\frac{6x — 2x}{2}$ = 0;
cos 4x · cos 2x = 0;

Первое уравнение:
cos 4x = 0;
4x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
cos 2x = 0;
2x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$;
x = $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$; $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

а) Решение уравнения: $1 + \cos(6x) = 2 \sin^2(5x)$

Исходное уравнение:

$$1 + \cos(6x) = 2 \sin^2(5x)$$

Применим тождество для $\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$ к правой части:

$$1 + \cos(6x) = 2 \left( \frac{1 — \cos(10x)}{2} \right)$$ $$1 + \cos(6x) = 1 — \cos(10x)$$

Переносим все на одну сторону уравнения:

$$1 + \cos(6x) — 1 + \cos(10x) = 0$$ $$\cos(6x) + \cos(10x) = 0$$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A-B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 6x$ и $B = 10x$:

$$\cos(6x) + \cos(10x) = 2 \cos\left( \frac{6x + 10x}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{10x — 6x}{2} \right)$$ $$2 \cos(8x) \cdot \cos(2x) = 0$$

Решаем уравнение:
У нас есть произведение двух косинусов, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из косинусов должен быть равен нулю.

Первое уравнение:

$$\cos(8x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 8:

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Второе уравнение:

$$\cos(2x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

б) Решение уравнения: $\cos^2(2x) = \cos^2(4x)$

Исходное уравнение:

$$\cos^2(2x) = \cos^2(4x)$$

Перепишем через тождества:
Мы знаем, что $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$. Применяем это к обеим частям уравнения:

$$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(8x)}{2}$$

Убираем знаменатели (умножаем обе части на 2):

$$1 + \cos(4x) = 1 + \cos(8x)$$

Переносим все на одну сторону уравнения:

$$\cos(4x) = \cos(8x)$$

Решаем уравнение $\cos A = \cos B$:
Если два косинуса равны, то либо их аргументы равны, либо аргументы отличаются на $2k\pi$. Т.е.:

$$4x = 8x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = -8x + 2k\pi$$

Решаем первое уравнение:

$$4x — 8x = 2k\pi$$ $$-4x = 2k\pi$$ $$x = -\frac{k\pi}{2}$$

Это решение $x = \frac{\pi n}{6}$, где $n$ — целое число.

Решаем второе уравнение:

$$4x + 8x = 2k\pi$$ $$12x = 2k\pi$$ $$x = \frac{\pi n}{6}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{6}$$

в) Решение уравнения: $\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{7x}{2} \right)$

Исходное уравнение:

$$\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{7x}{2} \right)$$

Используем тождество:
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, а $\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$.
Это позволяет переписать уравнение в следующем виде:

$$\frac{1 — \cos(x)}{2} = \frac{1 + \cos(7x)}{2}$$

Убираем знаменатели, умножая обе части на 2:

$$1 — \cos(x) = 1 + \cos(7x)$$

Переносим все на одну сторону уравнения:

$$\cos(x) + \cos(7x) = 0$$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$2 \cos \left( \frac{x + 7x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{7x — x}{2} \right) = 0$$ $$2 \cos(4x) \cdot \cos(3x) = 0$$

Решаем уравнение:

Первое уравнение:

$$\cos(4x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Второе уравнение:

$$\cos(3x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 3:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

г) Решение уравнения: $\sin^2(x) + \sin^2(3x) = 1$

Исходное уравнение:

$$\sin^2(x) + \sin^2(3x) = 1$$

Используем тождества для $\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos(2\theta)}{2}$:

$$\frac{1 — \cos(2x)}{2} + \frac{1 — \cos(6x)}{2} = 1$$

Убираем знаменатели:

$$1 — \cos(2x) + 1 — \cos(6x) = 2$$ $$2 — \cos(2x) — \cos(6x) = 2$$

Переносим все на одну сторону:

$$\cos(2x) + \cos(6x) = 0$$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$2 \cos \left( \frac{2x + 6x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — 2x}{2} \right) = 0$$ $$2 \cos(4x) \cdot \cos(2x) = 0$$

Решаем уравнение:

Первое уравнение:

$$\cos(4x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Второе уравнение:

$$\cos(2x) = 0$$

Косинус равен нулю, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Разделим на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$