ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) $\sin \frac{\pi }{5}-\sin \frac{\pi }{10}$

б) $\sin \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{4}$

в) $\sin \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{7}$

г) $\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{11}$

а) $\sin \frac{\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} = 2 \sin \frac{2\pi — \pi}{2 \cdot 10} \cdot \cos \frac{2\pi + \pi}{2 \cdot 10} = 2 \sin \frac{\pi}{20} \cdot \cos \frac{3\pi}{20}$;

б) $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}}{2} = 2 \sin \frac{4\pi + 3\pi}{2 \cdot 12} \cdot \cos \frac{4\pi — 3\pi}{2 \cdot 12} = 2 \sin \frac{7\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24}$;

в) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{7}}{2} = 2 \sin \frac{7\pi + 6\pi}{2 \cdot 42} \cdot \cos \frac{7\pi — 6\pi}{2 \cdot 42} = 2 \sin \frac{13\pi}{84} \cdot \cos \frac{\pi}{84}$;

г) $\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{11}=2\sin \frac{\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{11}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{11}}{2}=2\sin \frac{11\pi -3\pi }{2\cdot 33}\cdot \cos \frac{11\pi +3\pi }{2\cdot 33}=$

$\sin \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{11} = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{11}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} = 2 \sin \frac{11\pi — 3\pi}{2 \cdot 33} \cdot \cos \frac{11\pi + 3\pi}{2 \cdot 33} = 2 \sin \frac{8\pi}{66} \cdot \cos \frac{14\pi}{66} = 2 \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{7\pi}{33}$

а) $\sin \frac{\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10}$

Мы используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Заменим $A = \frac{\pi}{5}$ и $B = \frac{\pi}{10}$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin \frac{\pi}{5} — \sin \frac{\pi}{10} = 2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10}}{2} \right)$$

Шаг 1: Рассчитаем выражения внутри синуса и косинуса.

$\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} — \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$.

$\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} + \frac{\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$.

Таким образом, получаем:

$$2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{10}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{3\pi}{10}}{2} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в скобках.

$\frac{\pi}{10} \div 2 = \frac{\pi}{20}$.

$\frac{3\pi}{10} \div 2 = \frac{3\pi}{20}$.

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение:

$$2 \sin \frac{\pi}{20} \cdot \cos \frac{3\pi}{20}$$

б) $\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4}$

Теперь применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Заменим $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}}{2} \right)$$

Шаг 1: Рассчитаем выражения внутри синуса и косинуса.

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

$\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} — \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Таким образом, получаем:

$$2 \sin \left( \frac{\frac{7\pi}{12}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{12}}{2} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в скобках.

$\frac{7\pi}{12} \div 2 = \frac{7\pi}{24}$.

$\frac{\pi}{12} \div 2 = \frac{\pi}{24}$.

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение:

$$2 \sin \frac{7\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24}$$

в) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7}$

Используем ту же формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Заменим $A = \frac{\pi}{6}$ и $B = \frac{\pi}{7}$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{7} = 2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{7}}{2} \right)$$

Шаг 1: Рассчитаем выражения внутри синуса и косинуса.

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{42} + \frac{6\pi}{42} = \frac{13\pi}{42}$.

$\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi}{42} — \frac{6\pi}{42} = \frac{\pi}{42}$.

Таким образом, получаем:

$$2 \sin \left( \frac{\frac{13\pi}{42}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{42}}{2} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в скобках.

$\frac{13\pi}{42} \div 2 = \frac{13\pi}{84}$.

$\frac{\pi}{42} \div 2 = \frac{\pi}{84}$.

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение:

$$2 \sin \frac{13\pi}{84} \cdot \cos \frac{\pi}{84}$$

г) $\sin \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{11}$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Заменим $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \frac{\pi}{11}$. Подставим эти значения в формулу:

$$\sin \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{11} = 2 \sin \left( \frac{\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{11}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11}}{2} \right)$$

Шаг 1: Рассчитаем выражения внутри синуса и косинуса.

$\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{11} = \frac{11\pi}{33} — \frac{3\pi}{33} = \frac{8\pi}{33}$.

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{11} = \frac{11\pi}{33} + \frac{3\pi}{33} = \frac{14\pi}{33}$.

Таким образом, получаем:

$$2 \sin \left( \frac{\frac{8\pi}{33}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{14\pi}{33}}{2} \right)$$

Шаг 2: Упростим выражения в скобках.

$\frac{8\pi}{33} \div 2 = \frac{4\pi}{33}$.

$\frac{14\pi}{33} \div 2 = \frac{7\pi}{33}$.

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение:

$$2 \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{7\pi}{33}$$

Итак, получаем следующие конечные выражения:

а) $2 \sin \frac{\pi}{20} \cdot \cos \frac{3\pi}{20}$

б) $2 \sin \frac{7\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24}$

в) $2 \sin \frac{13\pi}{84} \cdot \cos \frac{\pi}{84}$

г) $2 \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{7\pi}{33}$