ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

б) $2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$

a) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

$(1 — \cos 2x) + \cos 5x = 1$;

$\cos 5x — \cos 2x = 0$;

$-2 \sin \frac{5x + 2x}{2} \cdot \sin \frac{5x — 2x}{2} = 0$;

$\sin \frac{7x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 0$;

Первое уравнение:

$\sin \frac{7x}{2} = 0$;

$\frac{7x}{2} = \pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{7}$;

Второе уравнение:

$\sin \frac{3x}{2} = 0$;

$\frac{3x}{2} = \pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi n}{7}; \frac{2\pi n}{3}$.

б) $2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$;

$(1 — \cos 6x) — 1 = \cos 8x$;

$\cos 8x + \cos 6x = 0$;

$2 \cos \frac{8x + 6x}{2} \cdot \cos \frac{8x — 6x}{2} = 0$;

$\cos 7x \cdot \cos x = 0$;

Первое уравнение:

$\cos 7x = 0$;

$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$;

Второе уравнение:

$\cos x = 0$;

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x_1 = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi(7k + 3)}{7} = \frac{\pi}{14} + \frac{3\pi}{7} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$.

а)

Исходное уравнение:

$$2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с использованием тригонометрических тождеств.

Преобразуем $2 \sin^2 x$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$:

$$2 \sin^2 x = 2(1 — \cos^2 x) = 2 — 2 \cos^2 x$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$2 — 2 \cos^2 x + \cos 5x = 1$$

Шаг 2. Переносим все выражения на одну сторону.

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы все было в форме нулевого выражения:

$$2 — 2 \cos^2 x + \cos 5x — 1 = 0$$

Упростим:

$$1 — 2 \cos^2 x + \cos 5x = 0$$

Шаг 3. Разделяем уравнение на два выражения с косинусами.

Разделим это уравнение на два выражения с косинусами:

$$1 — \cos 2x + \cos 5x = 1$$ $$\cos 5x — \cos 2x = 0$$

Шаг 4. Используем тождество для разности косинусов.

Используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 5x$ и $B = 2x$:

$$\cos 5x — \cos 2x = -2 \sin \left( \frac{5x + 2x}{2} \right) \sin \left( \frac{5x — 2x}{2} \right)$$

Упрощаем:

$$\cos 5x — \cos 2x = -2 \sin \frac{7x}{2} \sin \frac{3x}{2}$$

Шаг 5. Решаем уравнение для синусов.

Теперь у нас есть уравнение:

$$-2 \sin \frac{7x}{2} \sin \frac{3x}{2} = 0$$

Так как произведение двух синусов равно нулю, это означает, что хотя бы один из них должен быть равен нулю. Получаем два возможных уравнения:

1. $\sin \frac{7x}{2} = 0$
2. $\sin \frac{3x}{2} = 0$

Шаг 6. Решаем первое уравнение.

Из $\sin \frac{7x}{2} = 0$ получаем:

$$\frac{7x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решая относительно $x$:

$$x = \frac{2\pi n}{7}$$

Шаг 7. Решаем второе уравнение.

Из $\sin \frac{3x}{2} = 0$ получаем:

$$\frac{3x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решая относительно $x$:

$$x = \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ для части а:

$$x = \frac{2\pi n}{7}, \quad x = \frac{2\pi n}{3}$$

б)

Исходное уравнение:

$$2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с использованием тригонометрических тождеств.

Используем формулы для косинуса и синуса:

$$\cos^2 4x — \sin^2 4x = \cos 8x$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$2 \sin^2 3x — 1 = \cos 8x$$

Используем тождество $\sin^2 A = \frac{1 — \cos 2A}{2}$ для $\sin^2 3x$:

$$\sin^2 3x = \frac{1 — \cos 6x}{2}$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$2 \left( \frac{1 — \cos 6x}{2} \right) — 1 = \cos 8x$$

Упрощаем:

$$1 — \cos 6x — 1 = \cos 8x$$ $$-\cos 6x = \cos 8x$$

Шаг 2. Применяем тождество для суммы косинусов.

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 8x$ и $B = 6x$:

$$\cos 8x + \cos 6x = 2 \cos \left( \frac{8x + 6x}{2} \right) \cos \left( \frac{8x — 6x}{2} \right)$$

Упрощаем:

$$\cos 8x + \cos 6x = 2 \cos 7x \cos x$$

Шаг 3. Получаем уравнение.

Теперь у нас есть уравнение:

$$2 \cos 7x \cos x = 0$$

Так как произведение равно нулю, это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $\cos 7x = 0$
2. $\cos x = 0$

Шаг 4. Решаем первое уравнение.

Из $\cos 7x = 0$ получаем:

$$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решая относительно $x$:

$$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$$

Шаг 5. Решаем второе уравнение.

Из $\cos x = 0$ получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 6. Соединяем оба решения.

Для $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, подставляем $n = 7k + 3$ (в соответствии с расчетом):

$$x_1 = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi (7k + 3)}{7} = \frac{\pi}{14} + \frac{3\pi}{7} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ для части б:

$$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$$