ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 5x = 0;$

б) $\operatorname{tg} 3x = \operatorname{ctg} x;$

в) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x;$

г) $\mathrm{ctg}\frac{x}{2}+\mathrm{ctg}\frac{3x}{2}=0$

а) $\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 5x = 0;$
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = 0;$
$\frac{\sin x \cdot \cos 5x + \sin 5x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 5x} = 0;$
$\frac{\sin(x + 5x)}{\cos x \cdot \cos 5x} = 0;$
$\sin 6x = 0;$
$6x = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{6};$

Выражение имеет смысл при:
$\cos x \neq 0;$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x_1 \neq \frac{\pi(6k + 3)}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad (n \neq 6k + 3);$

Выражение имеет смысл при:
$\cos 5x \neq 0;$
$5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5};$

Ответ: $\frac{\pi n}{6}, n \neq 6k + 3$.

б) $\operatorname{tg} 3x = \operatorname{ctg} x;$
$\operatorname{ctg} x — \operatorname{tg} 3x = 0;$
$\frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0;$
$\frac{\cos x \cdot \cos 3x — \sin x \cdot \sin 3x}{\sin x \cdot \cos 3x} = 0;$
$\frac{\cos(x + 3x)}{\sin x \cdot \cos 3x} = 0;$
$\cos 4x = 0;$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$

Выражение имеет смысл при:
$\sin x \neq 0;$
$x \neq \pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$\cos 3x \neq 0;$
$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

в) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x;$
$\operatorname{tg} 4x — \operatorname{tg} 2x = 0;$
$\frac{\sin 4x}{\cos 4x} — \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 0;$
$\frac{\sin 4x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x}{\cos 2x \cdot \cos 4x} = 0;$
$\frac{\sin(4x — 2x)}{\cos 2x \cdot \cos 4x} = 0;$
$\frac{\sin 2x}{\cos 2x \cdot \cos 4x} = 0;$
$\operatorname{tg} 2x = 0;$
$2x = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{2};$

Выражение имеет смысл при:
$\cos 4x \neq 0;$
$4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.

г) $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3x}{2} = 0;$
$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} + \frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}} = 0;$
$\frac{\cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2}} = 0;$
$\frac{\sin\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right)}{\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2}} = 0;$
$\sin 2x = 0;$
$2x = \pi n;$
$x = \frac{\pi n}{2};$
$x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, x_2 = \pi + 2\pi n, \, x_3 = 2\pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$\sin \frac{x}{2} \neq 0;$
$\frac{x}{2} \neq \pi n;$
$x \neq 2\pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$\sin \frac{3x}{2} \neq 0;$
$\frac{3x}{2} \neq \pi n;$
$x \neq \frac{2\pi n}{3};$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + 2\pi n$.

а) $\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 5x = 0$

Перепишем данное уравнение в терминах синусов и косинусов:

$$\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 5x = 0 \implies \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \frac{\sin x \cdot \cos 5x + \sin 5x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 5x}$$

Получаем уравнение:

$$\frac{\sin x \cdot \cos 5x + \sin 5x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 5x} = 0$$

Так как дробь равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

$$\sin x \cdot \cos 5x + \sin 5x \cdot \cos x = 0$$

Используем формулу синуса суммы углов:

$$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b$$

Подставляем в уравнение:

$$\sin(x + 5x) = \sin 6x$$

Уравнение превращается в:

$$\sin 6x = 0$$

Решаем уравнение $\sin 6x = 0$:

$$6x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда получаем:

$$x = \frac{\pi n}{6}$$

Ограничения на значение $x$:

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$ и $\cos 5x \neq 0$, то есть:

1. $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x_1 \neq \frac{\pi (6k + 3)}{6}$ для $n \neq 6k + 3$.
2. $\cos 5x \neq 0$ означает, что $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$.

Таким образом, итоговый ответ:

$$x = \frac{\pi n}{6}, n \neq 6k + 3$$

б) $\operatorname{tg} 3x = \operatorname{ctg} x$

Перепишем уравнение в терминах синусов и косинусов:

$$\operatorname{tg} 3x = \operatorname{ctg} x \implies \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Умножим обе стороны на $\cos 3x \cdot \sin x$ для избавления от дробей:

$$\sin 3x \cdot \sin x = \cos x \cdot \cos 3x$$

Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов:

$$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b$$

Подставляем:

$$\sin(3x + x) = \sin 4x$$

Получаем уравнение:

$$\sin 4x = 0$$

Решаем уравнение $\sin 4x = 0$:

$$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{4}$$

Ограничения на значение $x$:

1. $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$.
2. $\cos 3x \neq 0$, то есть $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

Итоговый ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

в) $\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x$

Перепишем уравнение:

$$\operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} 4x \implies \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x}$$

Умножим обе стороны на $\cos 2x \cdot \cos 4x$:

$$\sin 2x \cdot \cos 4x = \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Применим формулы для синуса разности углов:

$$\sin(a — b) = \sin a \cdot \cos b — \cos a \cdot \sin b$$

Подставляем:

$$\sin(4x — 2x) = \sin 2x$$

Получаем уравнение:

$$\sin 2x = 0$$

Решаем уравнение $\sin 2x = 0$:

$$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Ограничения на значение $x$:

$\cos 4x \neq 0$, что означает $4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, т.е. $x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

Итоговый ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

г) $\operatorname{ctg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3x}{2} = 0$

Перепишем уравнение:

$$\operatorname{ctg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{3x}{2} = 0 \implies \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} + \frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}} = 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{\cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2}} = 0$$

Числитель должен быть равен нулю:

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0$$

Используем формулу для синуса суммы углов:

$$\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b$$

Подставляем:

$$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{3x}{2}\right) = \sin 2x$$

Уравнение становится:

$$\sin 2x = 0$$

Решаем уравнение $\sin 2x = 0$:

$$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Ограничения на значение $x$:

1. $\sin \frac{x}{2} \neq 0$, что означает $x \neq 2\pi n$.
2. $\sin \frac{3x}{2} \neq 0$, что означает $x \neq \frac{2\pi n}{3}$.

Итоговый ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = \pi + 2\pi n$$