ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

а) $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$;

б) $2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x$

Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

а) $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$;

Преобразуем левую часть:

$$\sin 2x + \sin 6x = 2 \sin \frac{2x + 6x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 2x}{2}$$ $$= 2 \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Уравнение становится:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x — \cos 2x = 0$$

Выносим общий множитель $\cos 2x$:

$$\cos 2x \cdot (2 \sin 4x — 1) = 0$$

Разбиваем на два случая:

1) Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

2) Второе уравнение:

$$2 \sin 4x — 1 = 0$$ $$2 \sin 4x = 1$$ $$\sin 4x = \frac{1}{2}$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Находим значения $x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Для первого уравнения:

$$x_1 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi \cdot 0}{4} = \frac{\pi}{24}$$ $$x_2 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$$ $$x_3 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Ответ: 3.

б) $2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x$;

Преобразуем левую часть:

$$2 \cos^2 x — 1 = \cos 2x$$

Уравнение становится:

$$\cos 2x = \sin 3x$$

Используем формулу приведения:

$$\sin 3x = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)$$

Уравнение теперь:

$$\cos 2x = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)$$

Применяем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь $A = 2x$ и $B = \frac{\pi}{2} — 3x$:

$$\cos 2x — \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right) = 0$$ $$2 \sin \left( \frac{2x + \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x — \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)}{2} \right) = 0$$ $$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Разбиваем на два случая:

1) Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$ $$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n$$ $$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

2) Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Находим значения $x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Для первого уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 0}{5} = \frac{\pi}{10}$$ $$x_2 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 1}{5} = \frac{\pi}{2}$$

Для второго уравнения:

$$x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$$

Ответ: 2.

а) $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$

Применим формулы для суммы синусов и косинусов:

В первую очередь, для выражения $\sin 2x + \sin 6x$ применим формулу для суммы синусов:

$$\sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Подставим $a = 2x$ и $b = 6x$:

$$\sin 2x + \sin 6x = 2 \sin \left( \frac{2x + 6x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — 2x}{2} \right)$$

Упростим:

$$= 2 \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Таким образом, уравнение $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$ преобразуется в:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x = \cos 2x$$

Переносим все на одну сторону:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x — \cos 2x = 0$$

Выносим общий множитель $\cos 2x$:

$$\cos 2x \cdot \left( 2 \sin 4x — 1 \right) = 0$$

Разбираем на два случая:

У нас два возможных случая:

1) Первый случай:
$\cos 2x = 0$

$$\cos 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

2) Второй случай:
$2 \sin 4x — 1 = 0$

$$2 \sin 4x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin 4x = \frac{1}{2}$$

Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ при $\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом:

$$4x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Отсюда:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Нахождение корней на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Рассмотрим оба полученных выражения для $x$.

Для первого уравнения ($x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$) на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ получаем:

• При $n = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$
• При $n = 1$, $x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$, но это значение больше $\frac{\pi}{2}$, поэтому оно не подходит.

Следовательно, $x_1 = \frac{\pi}{4}$ является единственным корнем из первого случая.

Для второго уравнения ($x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$) на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ получаем:

• При $n = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{24}$
• При $n = 1$, $x_2 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$
• При $n = 0$ для второго члена ($x_3 = \frac{\pi}{4}$).

Ответ:
В отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ есть 3 корня: $x_1 = \frac{\pi}{24}$, $x_2 = \frac{5\pi}{24}$, $x_3 = \frac{\pi}{4}$.

б) $2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x$

Преобразуем левую часть:

Используем тригонометрическую тождество для $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$, следовательно:

$$2 \cos^2 x — 1 = \cos 2x$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\cos 2x = \sin 3x$$

Используем формулу приведения:

Мы знаем, что $\sin 3x = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)$, подставляем это в уравнение:

$$\cos 2x = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)$$

Применяем формулу разности косинусов:

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь $A = 2x$ и $B = \frac{\pi}{2} — 3x$:

$$\cos 2x — \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right) = 0$$ $$2 \sin \left( \frac{2x + \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x — \left( \frac{\pi}{2} — 3x \right)}{2} \right) = 0$$

Упростим:

$$2 \sin \left( \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Разбиваем на два случая:

У нас два возможных уравнения:

1) Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Решение этого уравнения:

$$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n$$ $$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

2) Второе уравнение:

$$\cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Нахождение корней на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Для первого уравнения:

$$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 0}{5} = \frac{\pi}{10}$$ $$x_2 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 1}{5} = \frac{\pi}{2}$$

Для второго уравнения:

$$x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$$

Ответ:
В отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ есть 2 корня: $x_1 = \frac{\pi}{10}$ и $x_2 = \frac{\pi}{2}$.