ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2,5):

a) cos6x + cos8x = cos10x + cos12x;

б) sin2x + 5sin4x + sin6x = 0.

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $(0; 2.5)$:

а) $\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$;

$$(\cos 10x — \cos 6x) + (\cos 12x — \cos 8x) = 0;$$ $$-2 \sin \frac{10x + 6x}{2} \cdot \sin \frac{10x — 6x}{2} — 2 \sin \frac{12x + 8x}{2} \cdot \sin \frac{12x — 8x}{2} = 0;$$ $$-2 (\sin 8x \cdot \sin 2x + \sin 10x \cdot \sin 2x) = 0;$$ $$\sin 2x \cdot (\sin 8x + \sin 10x) = 0;$$ $$\sin 2x \cdot 2 \sin \frac{8x + 10x}{2} \cdot \cos \frac{10x — 8x}{2} = 0;$$ $$\sin 2x \cdot \sin 9x \cdot \cos x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin 9x = 0;$$ $$9x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{9};$$

Третье уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Значения на заданном промежутке:

$$x_1 = \frac{\pi}{2}; \quad x_2 = \frac{\pi}{9}; \quad x_3 = \frac{2\pi}{9}; \quad x_4 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3};$$ $$x_5 = \frac{4\pi}{9}; \quad x_6 = \frac{5\pi}{9}; \quad x_7 = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}; \quad x_8 = \frac{7\pi}{9};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{9}; \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{9}; \frac{5\pi}{9}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{9}$.

б) $\sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0$;

$$(\sin 6x + \sin 2x) + 5 \sin 4x = 0;$$ $$2 \sin \frac{6x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{6x — 2x}{2} + 5 \sin 4x = 0;$$ $$2 \sin 4x \cdot \cos 2x + 5 \sin 4x = 0;$$ $$\sin 4x \cdot (2 \cos 2x + 5) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + 5 = 0;$$ $$2 \cos 2x = -5;$$ $$\cos 2x = -\frac{5}{2} \quad \text{(корней нет)};$$

Значения на заданном промежутке:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}; \quad x_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}; \quad x_3 = \frac{3\pi}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}$.

а) $\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$

1. Переносим все с одной стороны:

Первоначальное уравнение:

$$\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x$$

Переносим правую часть на левую:

$$\cos 6x + \cos 8x — \cos 10x — \cos 12x = 0$$

Группируем по парам:

$$(\cos 10x — \cos 6x) + (\cos 12x — \cos 8x) = 0$$

2. Используем формулы для разности косинусов:

Применим формулу для разности косинусов:

$$\cos a — \cos b = -2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \sin \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Для первой пары $\cos 10x — \cos 6x$:

$$\cos 10x — \cos 6x = -2 \sin \left( \frac{10x + 6x}{2} \right) \sin \left( \frac{10x — 6x}{2} \right) = -2 \sin 8x \cdot \sin 2x$$

Для второй пары $\cos 12x — \cos 8x$:

$$\cos 12x — \cos 8x = -2 \sin \left( \frac{12x + 8x}{2} \right) \sin \left( \frac{12x — 8x}{2} \right) = -2 \sin 10x \cdot \sin 2x$$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$-2 \sin 8x \cdot \sin 2x — 2 \sin 10x \cdot \sin 2x = 0$$

3. Вынесем общий множитель:

Вынесем $-2 \sin 2x$ за скобки:

$$-2 \sin 2x \cdot (\sin 8x + \sin 10x) = 0$$

Так как произведение равно нулю, то одно из множителей должно быть равно нулю. Разберем два случая.

4. Первый случай: $\sin 2x = 0$

$$\sin 2x = 0$$

Это уравнение имеет решение:

$$2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 2:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

5. Второй случай: $\sin 8x + \sin 10x = 0$

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \cos \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Подставим $a = 8x$ и $b = 10x$:

$$\sin 8x + \sin 10x = 2 \sin \left( \frac{8x + 10x}{2} \right) \cos \left( \frac{10x — 8x}{2} \right) = 2 \sin 9x \cdot \cos x$$

Таким образом, уравнение $\sin 8x + \sin 10x = 0$ становится:

$$2 \sin 9x \cdot \cos x = 0$$

Разбираем два случая:

$\sin 9x = 0$

$$9x = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{9}$$

$\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

6. Корни на промежутке $(0, 2.5)$:

Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку $(0, 2.5)$.

Для первого уравнения $x = \frac{\pi n}{2}$:

• При $n = 1$, $x_1 = \frac{\pi}{2}$
• При $n = 2$, $x_2 = \pi$
• При $n = 3$, $x_3 = \frac{3\pi}{2}$
• При $n = 4$, $x_4 = 2\pi$

Для второго уравнения $x = \frac{\pi n}{9}$:

• При $n = 1$, $x_1 = \frac{\pi}{9}$
• При $n = 2$, $x_2 = \frac{2\pi}{9}$
• При $n = 3$, $x_3 = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3}$
• При $n = 4$, $x_4 = \frac{4\pi}{9}$
• При $n = 5$, $x_5 = \frac{5\pi}{9}$
• При $n = 6$, $x_6 = \frac{6\pi}{9} = \frac{2\pi}{3}$
• При $n = 7$, $x_7 = \frac{7\pi}{9}$

Для третьего уравнения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

• При $n = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{2}$
• При $n = 1$, $x_2 = \frac{3\pi}{2}$

7. Ответ:

Все корни на промежутке $(0; 2.5)$ следующие:

$$\frac{\pi}{9}; \frac{2\pi}{9}; \frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{9}; \frac{5\pi}{9}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{9}; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi$$

б) $\sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0$

1. Переносим все с одной стороны:

Начальное уравнение:

$$\sin 2x + 5 \sin 4x + \sin 6x = 0$$

Группируем синусы:

$$(\sin 6x + \sin 2x) + 5 \sin 4x = 0$$

2. Используем формулу для суммы синусов:

Для $\sin 6x + \sin 2x$ используем формулу для суммы синусов:

$$\sin a + \sin b = 2 \sin \left( \frac{a + b}{2} \right) \cos \left( \frac{a — b}{2} \right)$$

Подставляем $a = 6x$ и $b = 2x$:

$$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{6x — 2x}{2} \right) = 2 \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x + 5 \sin 4x = 0$$

3. Вынесем общий множитель:

Вынесем $\sin 4x$ за скобки:

$$\sin 4x \cdot (2 \cos 2x + 5) = 0$$

4. Разбираем два случая:

1) Первое уравнение:
$\sin 4x = 0$

$$\sin 4x = 0$$

Это уравнение имеет решение:

$$4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 4:

$$x = \frac{\pi n}{4}$$

2) Второе уравнение:
$2 \cos 2x + 5 = 0$

$$2 \cos 2x = -5$$ $$\cos 2x = -\frac{5}{2}$$

Однако $\cos 2x$ не может быть меньше -1, поэтому корней для этого уравнения нет.

5. Нахождение корней на промежутке $(0; 2.5)$:

Для первого уравнения: $x = \frac{\pi n}{4}$

• При $n = 1$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$
• При $n = 2$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$
• При $n = 3$, $x_3 = \frac{3\pi}{4}$

6. Ответ:

Корни на промежутке $(0; 2.5)$:

$$\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}$$